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设置差异的估计

经过 ,博士学位

这次讲座呈现了一些例子 set estimation 问题,重点关注 设置估计 variance,也就是说,在使用样本以产生设定的估计 variance 一个未知的分配。

目录

正常的IID样品 - 已知的平均值

在这个例子中,我们在点的例子中提出了相同的假设 估算有权的差异 正常的IID样品 - 已知的平均值. 强烈建议读者在读取这个之前阅读该示例。

例子

The sample $ xi _ {n} $ is made of n 独立于一个独立的抽奖 normal distribution having known mean 亩 and unknown variance 西格玛^ 2.. 具体来说,我们观察 n realizations $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ of n 独立随机变量 X_1, ..., X_N., 所有具有已知平均值的正态分布 亩 and unknown variance 西格玛^ 2.. The sample 是 the n - 一维 vector [eq1]哪个 是一个实现的 random vector [eq2]

间隔估计器

The interval estimator 的 the variance 西格玛^ 2. 基于以下点估计 variance:[eq3]

间隔估计器 is[eq4]在哪里 $ z_ {1}$ and $ z_ {2} $ 是严格的正常数和 $ z_ {1}<z_{2}$.

覆盖概率

The 覆盖范围 probability 的 the interval estimator $ t_ {n} $ is[eq5]在哪里 Z is a Chi-Square随机变量 with n degrees of freedom.

证明

可以写入覆盖概率 as[eq6]在哪里 we have defined[eq7]在 the lecture entitled 点估计 of the variance,我们已经证明,鉴于假设的假设 sample $ xi _ {n} $ 上面制作,方差估计 [eq8] has a Gamma distribution 和 parameters n and 西格玛^ 2.. 将伽玛随机变量乘以参数 n and 西格玛^ 2. by [eq9] 一个人获得了一个Chi-Square随机变量 n 自由程度。因此,变量 Z 有一个Chi-Square分布 n degrees of freedom.

置信系数

请注意,覆盖概率不依赖于未知参数 西格玛^ 2.. Therefore, the confidence coefficient 间隔估计器 $ t_ {n} $ 恰逢其覆盖范围 probability:[eq10]在哪里 Z 是一个chi-square随机变量 n degrees of freedom.

尺寸

The 间隔估计器的大小 $ t_ {n} $ is[eq11]

预期规模

请注意,大小取决于 [eq12] 因此在样本上 $ xi _ {n} $. The expected size 的 interval estimator $ t_ {n} $ is[eq13]在哪里 我们已经使用了这个事实 [eq12] 是一个无偏的估计 西格玛^ 2. (i.e., [eq15], 看到题为题为的讲座 Point estimation of the variance)。

正常的IID样本 - 未知平均值

此示例类似于前一个。唯一的区别是我们 现在放宽假设分布的平均值是已知的。

例子

在此示例中,样本 $ xi _ {n} $ is made of n 独立于具有未知平均值的正态分布 亩 and unknown variance 西格玛^ 2.. 具体来说,我们观察 n realizations $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ of n 独立随机变量 X_1, ..., X_N., 所有都有正常分布,平均值 亩 and unknown variance 西格玛^ 2.. The sample is the n - 一维 vector [eq16], 这是随机载体的实现 [eq17].

间隔估计器

构建方差的间隔估计 西格玛^ 2., 我们使用样本意味着 xbar_n.:[eq18]和 either the unadjusted sample variance[eq19]或者 the adjusted sample variance[eq20]我们 考虑以下间隔估计 variance:[eq21]在哪里 $ z_ {1}$ and $ z_ {2} $ 是严格的正常数, $ z_ {1}<z_{2}$.

覆盖概率

间隔估计器的覆盖概率 $ t_ {n} $ is[eq22]在哪里 $ z_ {n-1} $ 是一个chi-square随机变量 $n-1$ degrees of freedom.

证明

可以写入覆盖概率 as[eq23]在哪里 we have defined[eq24]在 the lecture entitled 点估计 of variance,我们已经证明,鉴于样本上的假设 $ xi _ {n} $ 上面制作,不调整的样本方差 $ s_ {n} ^ {2} $ has a Gamma distribution 和 parameters $n-1$ and [eq25]. 因此,随机变量 $ z_ {n-1} $ 具有参数的伽玛分布 $n-1$ and $ h $ where[eq26]但 具有参数的伽马分布 $n-1$ and $n-1$ 是一种奇广场分布 $n-1$ 自由程度。所以, $ z_ {n-1} $ 有一个Chi-Square分布 $n-1$ degrees of freedom.

置信系数

注意覆盖概率 $ t_ {n} $ 不依赖于未知参数 亩 and 西格玛^ 2.. Therefore, the confidence coefficient 置信区间的覆盖率一致 probability:[eq27]在哪里 $ z_ {n-1} $ 是一种奇广场分布 $n-1$ degrees of freedom.

尺寸

The 置信区间的大小 $ t_ {n} $ is[eq28]

预期规模

The expected size of $ t_ {n} $ is[eq29]在哪里 在倒数第二步中,我们使用了这一事实(证明了题为有权的讲座 点估计差异) that[eq30]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

假设你观察一个样本 $100$ 从已知平均值的正态分布中独立地抽取 $ mu = 0 $ and unknown variance 西格玛^ 2.. Denote the $100$ draws by X_1, ..., $ x_ {100} $. Suppose that:[eq31]

找到一个置信区间 西格玛^ 2., 使用集合估计器 西格玛^ 2. having $90%$ 覆盖概率。

提示:Chi-Square随机变量 Z with $100$ 自由度有一个 分配功能 [eq32] such that[eq33]

解决方案

对于给定的样本大小 n, the interval estimator[eq4]已 coverage probability[eq35]在哪里 Z 是一个chi-square随机变量 n 自由度和 [eq36] 是严格的正常数。因此,如果我们 set[eq37]然后[eq38]哪个 等于我们所需的覆盖概率。因此,置信区间 for 西格玛^ 2. is[eq39]

练习2

假设你观察一个样本 $100$ 独立于具有未知平均值的正态分布 亩 and unknown variance 西格玛^ 2.. Denote the $100$ draws by X_1, ..., $ x_ {100} $. 假设其调整后的样本方差 $ s_ {100} ^ {2} $ is equal to $5$, that is,[eq40]

找到一个置信区间 西格玛^ 2., 使用集合估计器 西格玛^ 2. having $99%$ 覆盖概率。

提示:Chi-Square随机变量 Z with $99$ 自由度具有分配功能 [eq41] such that[eq42]

解决方案

对于给定的样本大小 n, the interval estimator[eq43]已 coverage probability[eq44]在哪里 Z 是一个chi-square随机变量 $n-1$ 自由度和 [eq45] 是严格的正常数。因此,如果我们 set[eq46]然后[eq47]哪个 等于我们所需的覆盖概率。因此,置信区间 for 西格玛^ 2. is[eq48]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "设置差异的估计", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-statistics/set-estimation-variance.

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