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设置估计

经过 ,博士学位

在统计推理中,采用样本进行了解陈述 生成样本的概率分布(参见 lecture entitled Statistical inference)。例子 $ xi $ 可以被视为实现一个 random vector $ xi $, whose joint distribution function,表示 [eq1], 是未知的,但假设属于一组分发功能 $ phi $, 被称为统计模型。

在参数模型中,集合 $ phi $ 与一套进行对应 [eq2] of p - 一维 real vectors. $ theta $ 被称为参数空间,其元素称为参数。表示 by $ heta _ {0} $ 真正的参数,即与未知相关联的参数 分配功能 [eq3] 来自哪个样本 $ xi $ 实际生成了。具体性, $ heta _ {0} $ 被认为是独一无二的。这段讲义讨论了一种推断 $ heta _ {0} $ 被称为集估计。

目录

信心集

Roughly speaking, 设置估计 是选择一个的行为 subset $ t $ 参数空间 ($ tsubseteq theta $) in such a way that $ t $ 具有含有真实(和未知)参数的高概率 $ heta _ {0} $. The chosen subset $ t $ is called a 设定估计数 of $ heta _ {0} $ or a 信心集 for $ heta _ {0} $.

当参数空间 $ theta $ 是一组实数的子集 R and the subset $ t $ 选择间隔 R (例如那种间隔 $ left [A,B
Ight] $), we speak about 间隔估计 (instead of set estimation), 间隔估计 (而不是设定估计数)和 置信区间 (而不是信心集)。

当设置估计 $ t $ 使用与集合相关联的预定规则(函数)生成 estimate $ t $ to each $ xi $ in the support of $ xi $, we can write[eq4]

The function [eq5] is called a 估算器。通常,符号 $ t $ 用于表示设置估计和集合估计器。意思是 通常从上下文中清除。

覆盖概率和覆盖概率 信心系数

正如我们已经所述的那样,设定估计是选择子集的行为 $ t $ 参数空间以这样的方式 $ t $ 具有含有真实参数的概率很高 $ heta _ {0} $. The probability that $ t $ 包含真正的参数被调用 覆盖概率 它通常由统计学家选择。直观地,在观察之前 统计学家发表声明的数据: [eq6]在哪里 $ theta $ 是参数空间,包含所有被视为的参数 合理的。统计名称相信陈述是真的,但是 声明不是很好的信息,因为 $ theta $ 是一个非常大的套装。在观察数据后,她做出了更丰富的信息 statement:[eq7]这 声明更有信息,因为 $ t $ is smaller than $ theta $, 但它有错误的概率(这是补充 1 覆盖概率)。在控制这种概率时, 统计学家面临权衡:如果她降低存在的概率 错误,那么她的陈述变得越来越少;相反,如果她 增加了错误的概率,然后她的陈述变得更多 informative.

在正式条款中,集合估计器的覆盖概率定义为 follows:[eq8]在哪里 the notation [eq9] 用于指示使用概率计算的事实 分配功能 [eq10] 与真实参数相关联 $ heta _ {0} $. 重要的是要注意,在上述覆盖概率的定义中 随机数量是间隔 [eq11], 虽然参数是固定的。

在实践中,覆盖概率很少知道,因为它取决于 未知参数 $ heta _ {0} $ (虽然在某些情况下,所属于属于的所有参数 参数空间)。当覆盖概率尚不清楚时,它是惯常的 to compute the 置信系数 [eq12], which is defined as follows:[eq13]在 其他词,置信系数 [eq14] 等于可能的覆盖概率。信心 也经常被称为系数 自信水平.

自信的大小

我们已经提到了建筑和选择有权衡 集合估算器。一方面,我们想要我们的集合估计 $ t $ 要具有高覆盖概率,即我们想要该集合 $ t $ 包含具有高概率的真实参数。另一方面,我们 want the size of $ t $ 尽可能小,以便使我们的间隔估计更精确。 我们的意思是什么意思 $ t $? 如果参数空间 $ theta $ 是一个单向的 $ t $ 是间隔估计,那么大小 $ t $ 只是它的长度。如果是空间 $ theta $ 是多维,那么大小 $ t $ is its volume. The 自信的大小 is also called 衡量信心集 (对于那些掌握的人 衡量理论,名称源于勒贝因措施的事实是 多维空间体积的概括)。如果我们表示 [eq15] 置信度的大小,那么我们也可以定义 预期的 集合估计器的大小 $ t $:[eq16]在哪里 the notation [eq17] 用于指示使用预期值计算的事实 分配功能 [eq18] 与真实参数相关联 $ heta _ {0} $. 与覆盖概率一样,也是设定估计器的预期大小 取决于未知参数 $ heta _ {0} $. 因此,除非它是一个常量功能 $ heta _ {0} $, 人们需要以某种方式估计它或者以尽可能最大的时间 参数的值,正如我们上面的覆盖概率所做的那样。

其他评估设定估计的标准

虽然大小可能是评估和选择集的最简单标准 估算器,有几个其他标准。我们在这里没有讨论它们,但 我们将读者推荐给Berger,R. L.和G的非常好的博览会。 Casella(2002)“统计推理”,Duxbury先进系列。

例子

设置估计问题的示例可以在以下讲座中找到:

  1. 设置平均值的估计 (examples of 设定对未知分配的平均值的估计);

  2. 设置差异的估计 (设置未知分发方差的估计的示例)。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "设置估计", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-statistics/set-estimation.

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