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点快三一定牛

经过 ,博士学位

在讲座中题为 Statistical inference 我们已将统计推断定义为使用a的行为 样本拨弄关于产生的概率分布的陈述 例子。例子 $ xi $ 被认为是实现一个 random vector $ xi $, whose unknown joint 分配功能,表示 [eq1], 假设属于一组分发功能 $ phi $, 称为统计模型(或,简单地,模型)。

When the model $ phi $ 与一套进行对应 [eq2] 实际矢量,然后我们有一个参数模型。 $ theta $ 被称为参数空间,其元素称为参数。表示 by $ heta _ {0} $ 与未知分发功能关联的参数 [eq3] and assume that $ heta _ {0} $ is unique. $ heta _ {0} $ is called the 真正的参数,因为它与之相关 实际生成样本的分布。这次讲座介绍了一个 关于Tight Point快三一定牛的真实参数的推断类型。

目录

快三一定牛和快三一定牛

粗略地说,点快三一定牛是选择参数的行为 [eq4] 这是我们对真实(和未知)参数的最佳猜测 $ heta _ {0} $. Our best guess $ widehat {heta} $ is called an 快三一定牛 of $ heta _ {0} $.

When the estimate $ widehat {heta} $ 使用与参数相关联的预定义规则(函数)生成 estimate $ widehat {heta} $ to each $ xi $ in the support of $ xi $, we can write[eq5]

The function [eq6] is called an 估算器。通常,符号 $ widehat {heta} $ 用于表示快三一定牛和估算器。通常是含义 从上下文中清除。

快三一定牛误差,损失和风险

使用讲座中引入的决策理论术语 统计推断,制作一个 estimate $ widehat {heta} $ 是一种产生后果的行为。其中的后果 通常考虑在参数决策问题中,最相关的是 快三一定牛错误。

The 快三一定牛错误 $ e $ 快三一定牛是差异 $ widehat {heta} $ 和真正的参数 $ heta _ {0} $:[eq7]

当然,统计学家的目标是犯下最小的目标 快三一定牛错误。可以使用损耗函数正式地进行这种偏好。一种 损失功能 [eq8], mapping [eq9] into R, 量化快三一定牛产生的损失 $ heta _ {0} $ with $ widehat {heta} $.

经常使用的损失函数是:

  1. the 绝对 error:[eq10]在哪里 [eq11] 是欧几里德的规范(它与绝对值一致 [eq12]);

  2. the 平方 error:[eq13]

When the estimate $ widehat {heta} $ 从快三一定牛器(样本的功能)获得 $ xi $, 这反过来是随机矢量的实现 $ xi $), then the loss [eq14]能够 被认为是随机变量。它的预期价值被称为 统计风险 (或,简单地,风险)的估算器 $ widehat {heta} $ and it is denoted by [eq15]:[eq16]笔记 上述风险定义中的预期值是计算的 尊重真正的分发功能 [eq17]. 因此,为了计算风险 [eq18], 我们不仅需要知道真实参数 $ heta _ {0} $, 但也是分发功能 $ xi $ (i.e. [eq17])。 在实践中,从未知道的风险,因为 $ heta _ {0} $ and [eq20] 是未知的,因此需要快三一定牛风险。例如,我们可以 compute an estimate $ widehat {r} $ 假装快三一定牛的风险 $ widehat {heta} $ 是真正的参数,表示 [eq21] the estimator of $ widehat {heta} $ 并计算快三一定牛的风险 as[eq22]在哪里 预期值是关于快三一定牛的分布函数 [eq23].

即使风险未知,风险概念通常用于导出 快三一定牛器的理论特性。在任何情况下,参数快三一定牛是 总是通过风险最小化原则引导,即,即 通过搜索估算器 $ widehat {heta} $ 最小化风险 [eq24].

根据我们使用的特定损失功能,统计风险 估算器可以采取不同的名称:

  1. 绝对错误用作损耗函数时,那么 risk[eq25]是 called the 平均绝对错误 的 the estimator.

  2. 当平方误差用作损耗函数时,那么 risk[eq26]是 called 平均方形错误 (MSE)。广场 调用平均平方误差的根 根均匀 error (RMSE.)。

其他评估估算标准

在本节中,我们讨论了常用于评估的其他标准 estimators.

无偏见

如果估算器产生平均正确的参数快三一定牛,那么 据说是无偏见的。以下是正式定义:

定义 Let $ heta _ {0} $ 是真正的参数,让 $ widehat {heta} $ be an estimator of $ heta _ {0} $. $ widehat {heta} $ is an 无偏快三一定牛 of $ heta _ {0} $ if and only if[eq27]如果 估算器并不偏见,那么它被称为a 偏见 estimator.

注意,在上述无偏见的定义中 [eq28] is a shorthand for [eq29]在哪里 $ xi $ 是样品的随机向量 $ xi $ 是一个实现,并且在真实的情况下计算预期的值 分配功能 [eq17].

另请注意,如果估算器是无偏见的,这意味着快三一定牛 error is on average zero:[eq31]

一致性

如果估算器产生参数快三一定牛,则会聚到真实值 当样本量增加时,据说据说是一致的。这 以下是一个正式的定义。

定义 Let [eq32] 是一系列样本,使得所有分发功能 [eq33] 与相同的参数进行对应关系 $ heta _ {0} $. 一系列快三一定牛器 [eq34] is said to be 持续的 (或弱持续)如果只是 if[eq35]在哪里 $ qtr {rm} {plim} $ indicates 概率融合。序列 据说快三一定牛人数是 强烈一致 如果 and only if[eq36]在哪里 [eq37] indicates 几乎肯定的融合。一系列 不符合一致的估算器 不一致.

当使用相同的预定义规则获得快三一定牛序列时 every sample $ xi _ {n} $, 我们经常说,略有滥用语言,“一致的估算器”代替 说“一致的快三一定牛序列”。在这种情况下,我们的意思是 预定义规则产生一致的快三一定牛序列。

例子

您可以在题为讲座中找到点快三一定牛的例子 点快三一定牛平均值 and 点快三一定牛方差.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "点快三一定牛", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-statistics/point-estimation.

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