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自相关

经过 ,博士学位

自相关是两种条款之间的线性相关系数 a sequence of random variables.

还称为自相关 序列相关.

目录

定义

以下是正式定义。

定义 Let [eq1] 是一系列随机变量。两个之间的自相关系数 序列条款  X_N. and  $ x_ {n + k} $ is[eq2]

换句话说,自相关系数只是 coefficient of linear correlation 在两个随机变量之间属于相同的变量 sequence.

请注意,协方差 [eq3] 被称为自动权力。

自相关和弱固定序列

请记住,据说一系列随机变量 协方差静止 (or 弱静止的)如果且仅当:

这两个属性中的第二个意味着所有随机变量 序列具有相同的相同 variance:[eq6] 因为 [eq7].

当序列是协方差静止时,自相关系数 在序列的两个条款之间  X_N. and  $ x_ {n + k} $ depends only on k:[eq8]

We denote it by  $ 
 ho _ {k} $ :[eq9] 我们称之为滞后的自相关 k (the distance k 在序列的两个术语之间称为滞后)。

样本自相关

当我们观察第一个时  $ n $ 序列的实现 [eq10], 我们可以在滞后计算样本自相关 k:[eq11] 在哪里  $ widehat {mu} $ is the sample mean[eq12]

If [eq13] 是协方差静止,然后是分子的 [eq14] 是一致的估计 [eq15] 分母是一致的估计 [eq16]. As a consequence, [eq17] 是滞后的自相关的一致估计 k.

自相关函数

自相关函数(ACF)是映射滞后的函数 自相关,即  $ 
 ho _ {k} $ 被认为是一个函数 k (参见下面的示例)。

当映射来自滞后以示例自相关时 [eq18], 然后我们称之为ACF。

acf plots.

ACF绘图是绘制自相关的条形图(或划线图) function:

例子

让我们来看看ACF和ACF情节的一些例子。

例1 - AR(1)自归过程的ACF

Suppose that [eq13] 是一个协方差静止序列 that[eq20] 在哪里  $ 
 HO $ is a constant and [eq21] 是一个IID序列 standard normal random variables (零均值和单位方差)。

这样的序列称为自回归顺序1,或AR(1) 过程(订单是右侧序列的最大滞后 of the equation).

Note that [eq22] 在哪里 我们已经执行了递归替换  $ x_ {n + k-i} $ with [eq23].

通过使用此表达式  $ x_ {n + k} $ , 我们可以轻松获得滞后的自动权力 k:[eq24] 在哪里: in steps  $ rame {a} $ and  $ rame {b} $ we have used the bilinearity of the covariance operator 和 in step  $ rame {c} $ 我们已经使用了1)随机变量的协方差本身的事实 等于其方差; 2)之间的协方差  X_N. and $ arepsilon _ {n + i} $ is zero for any $i>0$ because  $ x_ {n} $ depends only on $ arepsilon _ {n + i} $ for $i<0$ and the sequence [eq25] is IID.

因此,滞后的自相关 k is[eq26]

以下ACF绘图显示不同值的自相关函数 of  $ arphi $ .

示例 - 四种不同AR(1)流程的ACF曲线图

示例2 - 样本自相关

在此示例中,我们展示了ACF的样本看起来像什么。

We generate, via Monte Carlo simulations,四个AR(1)流程中的每一个实现 ACF已经绘制了上面。下面绘制的实现。

示例 - 四个模拟AR(1)流程的图

然后,我们计算他们的示例ACFS,绘制下面。

示例 - 四种不同AR的样本ACF(1)流程

这些是示例1中所示的ACF的示例版本 自相关是真正自相关的嘈杂估计,这些ACF 不要与示例1中所示的那些重合。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). " 自相关 ", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-statistics/autocorrelation.

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