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零概率事件

经过 ,博士学位

零概率事件的概念在概率中发挥着特殊作用 理论与统计,因为它基于几乎的重要概念 当然属性和几乎肯定的活动。

此讲义定义了零概率事件并讨论了一些 他们显然简单的定义的反思方面,特别是 零概率事件不是永不发生的事件的事实: 存在常见的概率设​​置,其中零概率事件 一直发生!在讨论这件事之后,几乎肯定的概念 介绍财产,几乎肯定的活动是介绍的。

目录

定义和讨论

Tautologically,零概率事件是概率相等的事件 to zero.

定义 Let E be an event 和 denote its probability by [eq1]. We say that E is a 零概率事件 如果 and only if[eq2]

尽管这种定义的简单性,但有一些功能 零概率事件可能看起来矛盾。我们说明了这些 具有以下示例的功能。

例子 考虑一个概率实验,其一组可能的结果,称为 sample space 和 denoted by 欧米茄, is the unit interval:[eq3]它 可以以每个子间隔具有这样的方式分配概率 概率等于其 length:[eq4]这 证明可以一致地执行这样的概率分配 超出了这个例子的范围,但你可以在任何小学中找到它 衡量理论书(例如 Williams - 1991)。作为一个 这项任务的直接后果,所有可能的结果 欧米茄在欧米茄 have zero probability:[eq5]陈述 不同,每个可能结果都是零概率事件。这有可能 看起来违反了。在日常语言中,零概率事件是一个 永远不会发生的事件。但是,这个例子说明了一个 确实发生零概率事件。由于示例空间提供了一个 详尽的可能结果,一个且只有一个 sample points 欧米茄在欧米茄 will be the realized outcome。但我们有 刚刚证明所有样本点都是零概率事件:作为一个 结果,实现的结果只能是零概率事件。 这个概率模型的另一个明显矛盾的方面是 sample space 欧米茄 可以作为不相交的零概率的结合获得 events:[eq6]在哪里 each 欧米茄在欧米茄 是一个零概率事件,并且联盟中的所有事件都是不相交的。要是我们 忘了概率的添加性仅适用于可数 集合的子集,我们会错误地推断出来 that[eq7]和 我们会陷入矛盾: [eq8], when, by the 概率的性质, 它 should be [eq9]. 当然,这种论点的谬误是 欧米茄 不是可计算集,因此不能使用添加性属性。

从此示例中获取的主要课程是零概率事件 不是一个永远不会发生的事件(也称为 impossible event):在一些 示例空间不可数字的概率模型,零概率 活动确实一直发生!

几乎确定,几乎肯定

零概率事件在概率和概率中是至关重要的 统计数据。通常,我们想证明一些财产几乎总是 满意,或者一些事情几乎总是发生。 “几乎总是”意味着 所有采样点对所有样本都满意,除了可能是可忽略的 一组样本点。零概率事件的概念用于 确定哪些集可以忽略不计:如果包含一个集合 零概率事件,那么它可以忽略不计。

定义 Let $ phi $ 是一个样本点的财产 欧米茄在欧米茄 可以满足或不满足。让 F 是满足的所有样本点的集合 property[eq10]表示 它的补充(所有点不令人满意的部分集 $ phi $) by $ f ^ {c} $. Property $ phi $ is said to be 几乎可以肯定 如果存在零概率 event E such that $ f ^ {c} subseteq e $.

据说一个几乎肯定的财产持有 几乎 surely (经常缩写为 作为。)。有时候,A. 几乎肯定的财产也据说持有 有概率 one (缩写 w.p.1)。

几乎肯定的活动

记住(见题为有权的讲座 Probability) 示例空间的一些子集可能不被视为事件。以上 几乎肯定的属性的定义允许我们考虑也可以套装 F 这不是,严格来说,事件。但是,在这种情况下 F is an event, F is called an 几乎肯定的活动 和 we say that F 几乎肯定会发生。此外,由于存在一个事件 E such that $ f ^ {c} subseteq e $ and [eq11], we can apply the monotonicity of probability:[eq12]哪个 in turn implies [eq13]. 最后,回顾了该公式 可能性 of a complement:[eq14]因此, 一个几乎肯定的事件是概率发生的事件 1.

例子 考虑样本空间 [eq15] 和前一个例子中介绍的概率分配: [eq4]我们 想要证明这一点 event[eq17]是 零概率事件。自那套 rational numbers is countable and E 是一组合理数字的子集, E 是可计算的。这意味着这些元素 E 可以安排进入 sequence:[eq18]此外, E 可以写成可数 union:[eq19]申请 the 可数 additivity property of probability, we obtain[eq20]自从 [eq21] for every n. Therefore, E 是一个零概率事件。这似乎令人惊讶:在这种概率中 模型还存在零概率事件,包括无数样本 points!它也可以很容易地证明 event[eq22]是 一个几乎肯定的活动。在 fact,[eq23]和 通过将公式应用于补充的概率,我们 get[eq24]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let E and F be two events. Let $ e ^ {c} $ 是一个零概率事件和 [eq25]. Compute [eq26].

解决方案

$ e ^ {c} $ 是一个零概率事件,这意味着 that[eq27]此外, 使用公式以获得补充的概率,我们 obtain[eq28]自从 [eq29], by monotonicity we obtain[eq30]自从 [eq31] 和概率不能大于 1, this implies [eq32]

练习2

Let E and F be two events. Let $ e ^ {c} $ 是一个零概率事件和 [eq33]. Compute [eq34].

解决方案

$ e ^ {c} $ 是一个零概率事件,这意味着 that[eq27]此外, 使用公式以获得补充的概率,我们 obtain[eq28]它 is also true that[eq37]自从 [eq29], by monotonicity, we obtain[eq30]自从 [eq31] 和概率不能大于 1, this implies [eq32]因此, 把碎片放在一起,我们 get[eq42]

参考

威廉姆斯,D。(1991) 可能性 with martingales,剑桥大学出版社。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "零概率事件", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/zero-probability-events.

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