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独立随机变量的总和

经过 ,博士学位

讲座讨论了如何导出两总和的分布 独立随机变量。我们首先解释 to derive the distribution function 总和,然后如何获得它的 probability mass function (如果alubands是离散的)或其 probability density function (如果alubands是连续的)。

目录

总和的分布函数

以下命题表征了总和的分布函数 就两次汇总的分布函数而言。

主张 X and Y 是两个独立的随机变量,并表示 [eq1] and [eq2] 他们的分发功能。 Let[eq3] 和 表示分布功能 Z by [eq4]. The following holds:[eq5] 或者 [eq6]

证明

第一个公式衍生成 follows:[eq7] 这 第二公式对第一个公式对称。

例子 Let X be a 均匀随机变量 with support [eq8] 和概率密度 function[eq9]Y 另一个均匀的随机变量,独立于 X, with support [eq10] 和概率密度 function[eq11] 这 分发功能 X is[eq12] 这 分发功能 $ z = x + y $ is[eq13] 那里 是四个案例需要考虑:

  1. If [eq14], then[eq15]

  2. If [eq16], then[eq17]

  3. If [eq18], then[eq19]

  4. If $z>2$, then[eq20]

通过结合这四种可能的情况,我们 obtain[eq21]

总和的概率质量函数

当两个汇总是离散随机变量时,概率质量 它们的总和的功能可以衍生如下。

主张 X and Y 是两个独立的离散随机变量,并表示 [eq22] and [eq23] 它们各自的概率质量函数和  r_x. and $ r_ {y} $ their supports. Let[eq3] 和 表示概率质量功能 Z by [eq25]. The following holds:[eq26] 或者 [eq27]

证明

第一个公式衍生成 follows:[eq28] 这 第二公式对第一个公式对称。

上面的两个求和称为 (二 概率质量功能)。

例子 Let X 是一个离散随机变量,支持 [eq29] and probability mass function[eq30]Y 另一个离散随机变量,独立于 X, with support [eq31] and probability mass function[eq32] 定义 [eq3] 它的 support is [eq34] 这 概率质量功能 Z, evaluated at $z=0$ is[eq35]评估 at $z=1$, it is[eq36]评估 at $z=2$, it is[eq37]所以, 概率质量功能 Z is[eq38]

总和的概率密度函数

当两个概括是连续的随机变量时,概率密度 它们的总和的功能可以衍生如下。

主张 X and Y 是两个独立的连续随机变量,并表示 [eq39] and [eq40] 它们各自的概率密度函数。 Let:[eq41] 和 表示概率密度函数 Z by [eq42]. The following holds:[eq43] 或者 [eq44]

证明

分配功能 一个独立变量的总和 is[eq5]差异化 双方和使用密度函数是衍生物的事实 分发功能,我们 obtain[eq46] 这 第二公式对第一个公式对称。

上面的两个积分被称为 (of two 概率密度函数)。

例子 Let X be an 指数随机变量 和 support [eq47] 和概率密度 function[eq48]Y 另一个指数随机变量,独立于 X, with support [eq49] 和概率密度 function[eq50] 定义 [eq3] 这 support of Z is[eq52] 什么时候 $ zin r_ {z} $, 概率密度函数 Z is[eq53]所以, 概率密度函数 Z is[eq54]

更多细节

n个独立随机变量的总和

我们讨论了上面如何导出两个总和的分布 独立随机变量。我们如何派生总和的分布 more than two 相互独立的随机 variables?认为 X_1, X_2, ...,  X_N. are n 相互独立的随机变量并让 Z be their sum:[eq55] 这 distribution of Z 可以递归地导出,使用两个随机变量的总和的结果 given above:

  1. first, define[eq56] 和 计算分发 $ y_ {2} $;

  2. then, define[eq57] 和 计算分发 $ y_ {3} $;

  3. 等等,直到分配 Z can be computed from[eq58]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是支持的统一随机变量 [eq59] 和概率密度 function[eq9]Y 一个指数随机变量,独立于 X, with support [eq61] 和概率密度 function[eq50] 派生 总和的概率密度函数 [eq3]

解决方案

支持 Z is[eq64] 什么时候 $ zin r_ {z} $, 概率密度函数 Z is[eq65]所以, 概率密度函数 Z is[eq66]

练习2

Let X 是一个离散随机变量,支持 [eq67] and probability mass function[eq68]Y 另一个离散随机变量,独立于 X, with support [eq69] and probability mass function[eq70] 派生 概率质量功能 sum[eq3]

解决方案

支持 Z is [eq72] 这 概率质量功能 Z, evaluated at $z=1$ is[eq73]评估 at $z=2$, it is[eq74]评估 at $z=3$, it is[eq75]评估 at $z=4$, it is[eq76]所以, 概率质量功能 Z is[eq77]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "独立随机变量的总和", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/sums-of-independent-random-variables.

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