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快三一定牛向量

经过 ,博士学位

快三一定牛载体的概念是一个多维概括 concept of 快三一定牛的 variable.

目录

定义

假设我们进行概率实验,即可能的 实验结果由a描述了 sample space 欧米茄.

快三一定牛向量是矢量,其值取决于结果的结果 实验,如以下定义所述。

定义 Let 欧米茄 be a sample space. A 快三一定牛矢量 X 是来自样本空间的功能 欧米茄 to the set of K - 一维 real vectors $ u {211d} ^ {k} $:[eq1]

在严格的概率理论中,功能 X 也需要可衡量(在衡量标准中发现的概念 - 见 more 快三一定牛载体的严格定义)。

The real vector [eq2] associated to a sample point 欧米茄在欧米茄 is called a 实现 快三一定牛载体。

调用所有可能的实现的集合 支持 和 is denoted by r_x..

符号

Denote by [eq3] the probability 的 an event $ esubseteq omega $. 处理快三一定牛向量时,使用以下约定:

例子

以下示例显示了如何在样本上定义快三一定牛向量 space.

例子 两枚硬币被扔。每个折腾的可能结果可以是尾巴 ($ t $) or head (H)。 The sample space is[eq11]这 四种可能的结果分配相等 probabilities:[eq12]如果 tail ($ t $) 是结果,我们赢得一美元,如果是 (H) 结果是我们失去一美元的结果。二维快三一定牛向量 X 指示我们赢得(或丢失)的金额 toss:[eq13]这 在两个掷骰子上赢得一美元的可能性 is[eq14]这 在第二次折腾上失去一美元的可能性 is[eq15]

离散快三一定牛向量

本节和下一个与离散和连续向量交易,两个 种类具有特殊属性并且经常被发现的快三一定牛载体 applications.

离散矢量定义如下。

定义 快三一定牛向量 X is 离散的 if and only if

  1. its support r_x. is a countable set;

  2. there is a function [eq16], called the 联合概率质量 function (或联合PMF或联合概率函数) X, such that, for any $ xin u {211d} ^ {k} $:[eq17]

以下符号可互​​换地使用以指示关节 probability mass function:[eq18]

在第二和第三个符号中 K components of X 明确指出。

例子 Suppose X is a $2$ - 一维 快三一定牛矢量谁的组件 (X_1 and X_2) 只需两个值: 1 or 0. 此外,四种可能的组合 0 and 1 都同样可能。 X 是离散矢量的一个例子。它的支持是 [eq19]它的 概率质量功能 is[eq20]

连续快三一定牛载体

连续载体定义如下。

定义 快三一定牛向量 X is 连续的 (或者 绝对地 continuous) if and only if

  1. its support r_x. is not countable;

  2. there is a function [eq21], called the 联合概率密度 function (或关节PDF或关节密度函数) X, 这样,对于任何集合 [eq7] where[eq23]这 probability that X belongs to A can be calculated as follows:[eq24]假如 上述多个积分是明确的。

以下符号可互​​换地使用以指示关节 probability density function:[eq25]

在第二和第三个符号中 K 快三一定牛向量的组件 X are 明确指出。

例子 Suppose X is a $2$ - 一维 快三一定牛矢量谁的组件 (X_1 and X_2) are independent 均匀的快三一定牛变量 (on the interval $left[ 0,1
ight] $)。 Then, X 是连续矢量的一个例子。它的支持 is[eq26]它的 联合概率密度函数 is[eq27]这 实现的概率 X 落在矩形中 [eq28] is[eq29]

快三一定牛向量一般

快三一定牛载体,也既不是离散也不连续的那些往往是 使用它们的联合分配功能描述。

定义 X 是一个快三一定牛的矢量。这 联合分配功能 (或者 joint DF,或联合累积分布函数或联合CDF) X is a function [eq30] such that[eq31]在哪里 the components of X and x are denoted by $ x_ {k} $ and $ x_ {k} $ respectively, for $ k = 1,ldots,k $.

以下符号可互​​换地使用以指示关节 distribution function:[eq32]

在第二和第三个符号中 K 快三一定牛向量的组件 X are 明确指出。

联合分布

有时,我们谈谈 联合分布 的 a random 向量,不指明我们是否参考

这种歧义是合法的,因为

  1. 联合PMF完全确定(并完全决定) 离散矢量的联合分布功能;

  2. 关节PDF完全确定(并完全决定) 连续载体的联合分布函数。

在这次讲座的其余部分中,我们在我们的时候使用术语联合分配 正在制定适用于分发功能的陈述和 快三一定牛载体的概率质量(或密度)函数。

更多细节

以下小节包含有关快三一定牛向量的更多详细信息。

快三一定牛矩阵

快三一定牛矩阵是矩阵,其条目是快三一定牛变量。

没有必要为快三一定牛矩阵开发一个单独的理论,因为a 快三一定牛矩阵始终作为快三一定牛向量写入。

Given a $ kimes l $ random matrix A, 它的矢量化,表示 [eq33], is the $ klimes 1 $ 通过堆叠列获得的快三一定牛向量 A 在彼此之上。

例子 Let A be the following $ 2 $ 2 $ random matrix:[eq34]这 vectorization of A is the following $ 4倍1美元 random vector:[eq35]

When [eq36] 是一个离散的矢量,然后我们这么说 $ a $ 是一个离散的快三一定牛矩阵和联合PMF A 只是联合PMF [eq36].

由同一个令牌,何时 [eq36] 是一个连续的矢量,然后我们这么说 A 是一种连续的快三一定牛矩阵和关节PDF A 只是关节pdf [eq36].

这 快三一定牛载体的边缘分布

Let X_I. be the i - component of a K - 一维 random vector X.

The 分配功能 [eq40] of X_I. is called 边缘分布功能 X_I..

If X is discrete, then X_I. is a 离散的 random variable 和 its 可能性 mass function [eq41] is called 边缘概率质量功能 X_I..

If X is continuous, then X_I. is a continuous random variable 和 its 可能性 density function [eq42] is called 边缘概率密度函数 X_I..

联合分布的边缘化

导出组件分布的过程 X_I. of a random vector X 从联合分配 X is known as 边缘化.

边缘化也可以具有更广泛的含义:它可以指的是 导出该组组件的子集的联合分布 X 从联合分配 X.

For example, if X 是一个有三个组件的快三一定牛矢量 (X_1, X_2 and $ x_ {3} $), 我们可以边缘化联合分配 X_1, X_2 and $ x_ {3} $ 找到联合分配 X_1 and X_2 (在这种情况下,我们这么说 $ x_ {3} $ 被边缘化摆脱了联合分配 X_1, X_2 and $ x_ {3} $)。

这 分立载体的边缘分布

Let X_I. be the i - component of a K - 一维 离散快三一定牛向量 X. The 边缘概率质量功能 X_I. 可以从联合概率质量功能源 X as follows:[eq43]在哪里 the sum is over the set[eq44]

换句话说,概率 $ x_ {i} = x $ 获得作为所有向量的概率的总和 r_x. such that their i - 组件等于 x.

离散分布的边缘化

Let X_I. be the i - 离散快三一定牛向量的组成部分 X. By marginalizing X_I. 出于联合分布 X, 我们获得了剩余组成部分的联合分布 X, 也就是说,我们获得快三一定牛载体的联合分布 $ x _ { -  i} $ defined as follows:[eq45]

联合概率质量功能 $ x _ { -  i} $ is computed as follows:[eq46]在哪里 the sum is over the set[eq47]

换句话说,联合概率质量功能 $ x _ { -  i} $ 可以通过求解联合概率质量功能来计算 X over all values of $ x_ {i} $ 属于支持 X_I..

边缘分布 a continuous vector

Let X_I. be the i - component of a K - 一维 连续快三一定牛矢量 X. The 边缘概率密度函数 X_I. 可以源自联合概率密度函数 X as follows:[eq48]

换句话说,联合概率密度函数,评估 $ x_ {i} = x $, 除了除了所有变量之外 $ x_ {i} $ (所以它总共集成了 $K-1$ times).

不断分布的边缘化

Let X_I. be the i - 连续快三一定牛载体的组分 X. By marginalizing X_I. 出于联合分布 X, 我们获得了剩余组成部分的联合分布 X, 也就是说,我们得到了快三一定牛向量的联合分布 $ x _ { -  i} $ defined as follows:[eq49]

联合概率密度函数 $ x _ { -  i} $ is computed as follows:[eq50]

换句话说,联合概率密度函数 $ x _ { -  i} $ 可以通过集成联合概率密度函数来计算 X with respect to $ x_ {i} $.

分布函数的部分衍生物 连续载体

Note that, if X is continuous, then[eq51]

Hence, by taking the K - 顺序相对于跨偏衍生物 [eq52] 我们的两侧的两侧,我们 obtain[eq53]

更严格的定义 random vector

我们通过使用的是快三一定牛向量的更严格定义 措施理论的形式主义。这个定义类似于 讲座中给出的衡量定义定义 快三一定牛的 variables, 您应该参考更详细的解释。

定义 Let [eq54] be a 可能性 space。让 [eq55] 是borel sigma-algebra $ u {211d} ^ {k} $ (即,最小的Sigma-algebra包含所有开放的超矩形 $ u {211d} ^ {k} $)。 A function [eq56] such that [eq57]为了 any [eq58] 据说是快三一定牛矢量 欧米茄.

该定义确保了实现的概率 of the random vector X will belong to a set [eq58] can be defined as [eq60]因为 the set [eq61] 属于Sigma-algebra [eq62] 并且,因此,其概率是明确的。

解决练习

快三一定牛载体上的一些解决练习可以在下面找到。

练习1

Let X be a $ 2倍1美元 离散快三一定牛向量,并表示其组件 X_1 and X_2.

Let the support of X be the set of all $ 2倍1美元 vector,使他们的条目属于前三个自然的集合 numbers, that is, [eq63]在哪里[eq64]

让联合概率质量功能 X be[eq65]

Find [eq66].

解决方案

琐碎的是,我们需要评估关节 概率质量功能 $left( 2,3
ight) $, that is,[eq67]

练习2

Let X be a $ 2倍1美元 离散快三一定牛向量,并表示其组件 X_1 and X_2.

Let the support of X be the set of all $ 2倍1美元 vector,使他们的条目属于前三个自然的集合 numbers, that is,[eq68]在哪里[eq64]

让联合概率质量功能 X be[eq70]

Find [eq71].

解决方案

只有两种可能的情况 引起事件 $ x_ {1} + x_ {2} = 3 $. These cases are[eq72][eq73]所以, 由于这两种情况是不相交的事件,我们可以使用添加性 probability:[eq74]

练习3.

Let X be a $ 2倍1美元 离散快三一定牛向量,并表示其组件 X_1 and X_2.

Let the support of X be[eq75]和 其联合概率质量功能 be[eq76]

导出边缘概率质量功能 X_1 and X_2.

解决方案

支持 X_1 is[eq77]我们 需要计算支持的每个元素的概率 X_1:[eq78]因此, 概率质量功能 X_1 is[eq79]这 support of X_2 is[eq80]我们 需要计算支持的每个元素的概率 X_2:[eq81]因此, 概率质量功能 X_2 is[eq82]

练习4.

Let X be a $ 2倍1美元 连续快三一定牛向量,并表示其组件 X_1 and X_2.

Let the support of X be [eq83]那 is, the set of all $ 2倍1美元 矢量使得第一个组件属于间隔 $left[ 0,2
ight] $ 第二个组件属于间隔 $left[ 0,3
ight] $.

让联合概率密度函数 X be[eq84]

Compute [eq85].

解决方案

通过联合概率密度的定义 function:[eq86]

练习5.

Let X be a $ 2倍1美元 连续快三一定牛向量,并表示其组件 X_1 and X_2.

Let the support of X be [eq87]那 is, the set of all $ 2倍1美元 矢量使得第一个组件属于间隔 [eq88] 第二个组件属于间隔 $left[ 0,2
ight] $.

让联合概率密度函数 X be[eq89]

Compute [eq90].

解决方案

首先要注意 $ x_ {1} + x_ {2} LEQ 3 $ if and only if $ x_ {2} leq 3-x_ {1} $. 通过使用联合概率密度函数的定义,我们 obtain[eq91]现在, note that, when [eq92], the inner integral is[eq93]所以,[eq94]

练习6.

Let X be a $ 2倍1美元 连续快三一定牛向量,并表示其组件 X_1 and X_2.

Let the support of X be [eq95] (即,所有的集合 $2$ - 一维 载体具有正条目)及其联合概率密度函数 be[eq96]

导出边缘概率密度函数 X_1 and X_2.

解决方案

支持 X_1 is[eq97](记起 that [eq98] and [eq99])。 我们可以通过尊重联合密度来找到边缘密度 to $ x_ {2} $:[EQ100]什么时候 $x<0$, then [EQ101] 并且上述整数是琐碎的等于 0. Thus, when $x<0$, then [EQ102]. When $x>0$, then[EQ103]但 两个积分中的第一个是零 [EQ104] when $ x_ {2}<0$; as a consequence,[EQ105]所以, 通过将碎片放在一起,我们得到了边缘密度的函数 X_1:[EQ106]经过 对称性,边缘密度函数 X_2 is[EQ107]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "快三一定牛向量", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/random-vectors.

这本书

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