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随机变量

经过 ,博士学位

随机变量是一个变量,其值取决于a的结果 快三一定牛实验。它的价值是一个先知未知,但它已知 一旦实现了实验的结果。

目录

定义

Denote by 欧米茄 the sample space (the set of all 实验可能的结果)。一个随机变量会员一个真实的 每个元素的数字 欧米茄, 如以下定义所述。

定义 A 随机变量 X 是来自样本空间的功能 欧米茄 到了一组实数 R:[eq1]

严谨(测量定理)快三一定牛理论,功能 X 也需要可衡量(见 a more rigorous 随机变量的定义)。

The real number [eq2] associated to a sample point 欧米茄在欧米茄 is called a 实现 随机变量。这套 所有可能的实现都被称为 支持 和 is denoted by r_x..

符号

关于符号的一些评论是有序的:

  1. The dependence of X on 欧米茄 经常省略,即我们只写的 X instead of [eq3].

  2. If [eq4], 表示法的确切含义 [eq5] is the following:[eq6]

  3. If [eq4], 我们有时会使用符号 [eq8] with the following meaning:[eq9]在 this case, $ qtr {rm} {p} _ {x} $ 将被解释为对真实数字集的快三一定牛措施, 随机变量引起 X. 通常,统计学家构造了随机变量的快三一定牛模型 X 通过直接指定来定义 $ qtr {rm} {p} _ {x} $, 不指定示例空间 欧米茄.

例子

以下示例说明了如何实现随机变量的方法 与快三一定牛实验的结果有关。

例子 假设我们翻转一枚硬币。可能的结果是尾巴 ($ t $) or head (H), that is,[eq10]这 两个结果分配相等 probabilities:[eq11]如果 tail ($ t $) 是结果,我们赢得一美元,如果是 (H) 结果是我们失去一美元的结果。量 X 我们赢了(或丢失)是一个随机变量,定义为 follows:[eq12]这 赢得一美元的快三一定牛 is[eq13]这 失去一美元的可能性 is[eq14]这 失去两美元的可能性 is[eq15]

离散随机变量

大多数时候,统计学家处理两种特殊的随机 variables:

  1. 离散随机变量;

  2. 连续随机变量。

本节定义了第一种,而下一部分介绍了第一种 second kind.

定义 A random variable X is 离散的 if

  1. its support r_x. is a countable set;

  2. there is a function [eq16], called the 快三一定牛质量功能 (或PMF或快三一定牛 function) of X, such that, for any $ xin u {211d} $:[eq17]

以下是离散随机变量的示例。

例子 A 伯努利随机变量 是 an 离散随机变量的示例。它只需两个值: 1 with probability $ q $ and 0 with probability $1-q$, where [eq18]. Its support is [eq19]. 其快三一定牛质量功能 is[eq20]

更详细地讨论了快三一定牛质量功能的性质 the lecture entitled 合法快三一定牛质量 functions。我们预计在这里,快三一定牛质量功能是 以两个基本属性为特征。

  1. 非消极性: [eq21] for any $ xin u {211d} $;

  2. 总结支持等于 1: [eq22].

事实证明,任何快三一定牛质量功能都必须满足这些问题 两个属性,也是满足这两个属性的任何功能都是 合法快三一定牛质量功能。你可以找到详细的讨论 在上述讲座中的这一事实。

连续随机变量

连续变量定义如下。

定义 A random variable X is continuous (or 绝对地 连续)如果且仅当

  1. its support r_x. is not countable;

  2. there is a function [eq23], called the 快三一定牛密度函数 (或者 pdf or density function) of X, 这样,任何间隔 [eq24]:[eq25]

我们现在用一个例子说明定义。

例子 A 均匀随机变量 (on the interval $ left [0,1
Ight] $) 是连续变量的一个例子。它可以在间隔中取得任何值 $ left [0,1
Ight] $. 相同长度的所有子间隔同样可能。它的支持是 [eq26]. 其快三一定牛密度函数 is[eq27]这 实现的快三一定牛 X 例如,属于间隔 [eq28] is[eq29]

更详细地讨论了快三一定牛密度函数的性质 在讲座中题为 合法快三一定牛密度 functions。我们预计在这里,快三一定牛密度函数是 以两个基本属性为特征:

  1. 非消极性: [eq30] for any $ xin u {211d} $;

  2. 积分 R equals 1: [eq31].

事实证明,任何快三一定牛密度函数都必须满足这些功能 两个属性,也是满足这两个属性的任何功能都是 合法快三一定牛密度函数。你可以找到详细的讨论 在上述讲座中的这一事实。

一般随机变量

随机变量,也是离散也不连续的那些 通常在其分发功能方面表征。

定义 X 是一个随机变量。这 分配功能 (or 累积分布函数或CDF) X is a function [eq32] such that[eq33]

如果我们知道随机变量的分发函数 X, 然后我们可以轻松计算快三一定牛 X 属于一个间隔 [eq34] as[eq35]

证明

笔记 that[eq36]在哪里 右侧的两组是不相交的。因此,由 additivity:[eq37]经过 重新排列条款,我们 get[eq35]

更多细节

在以下小节中,您可以在随机变量和随机变量中找到更多详细信息 单变量快三一定牛分布。

分布的衍生 连续变量的功能

Note that, if X is continuous, then[eq39]

因此,通过对衍生物相对于 x 我们的两侧的两侧,我们 obtain[eq40]

连续随机变量 和零快三一定牛事件

Note that, if X 是一个连续的随机变量,快三一定牛 X 承担任何特定价值 $ xin r_ {x} $ is equal to zero:[eq41]

Thus, the event [eq42] 是任何零快三一定牛事件 $ xin r_ {x} $.

The lecture entitled 零快三一定牛事件 含有对此明显矛盾的事实的彻底讨论:虽然 it can happen that [eq43], the event [eq44] 有零发生的可能性。

更严格的定义 random variable

随机变量可以通过使用更严格的方式来定义 措施理论术语,特别是概念 Σ-algebra,可测量的集合和快三一定牛空间在结束时引入 the lecture on probability.

定义 Let [eq45] be a 可能性 space, 在哪里 欧米茄 is a sample space, [eq46] 是一个事件的Sigma-algbra(子集 欧米茄) and $ qtr {rm} {p} $ 是一个快三一定牛措施 [eq47]. Let [eq48] 成为真实数字集的Borel Sigma-alagebra R (即,包含所有开放子集的最小Sigma-algabra R)。 A function [eq49] such that [eq50]为了 any [eq51] 据说是一个随机变量 欧米茄.

此定义定义可确保实现的快三一定牛 随机变量 X will belong to a set [eq51] can be defined as [eq53]在哪里 右侧的快三一定牛很好地定义,因为集合 [eq54] is measurable.

一个问题仍有待解答:为什么我们介绍了异国情调的概念 博尔西格玛 - 代数?显然,如果我们想将快三一定牛分配给子集 of R (随机变量的实现 X 可能属于),然后我们需要定义一个子集的Sigma-algebra R (请记住,我们需要一个Sigma-algebra来定义快三一定牛 严格地)。但为什么我们不能考虑更简单了解所有的集合 possible subsets of R, 哪个是sigma-algebra?简短的答案是我们无法定义一个 Sigma-algebras较大的快三一定牛测量(即,包含更多子集的 R) 比Borel Sigma-algebra:每当我们尝试这样做时,我们最终找到了一些 快三一定牛的Sigma-Addity属性的不可数集合 不持有(即,它们的快三一定牛与之不同 它们的快三一定牛)或者它们的快三一定牛不等于 一个减去它们的补充快三一定牛。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持 r_x. be[eq55]

让它的快三一定牛质量功能 [eq56] be[eq57]

计算以下内容 probability:[eq58]

解决方案

通过快三一定牛的增加,我们有 that[eq59]

练习2

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持 r_x. 是第一个的集 $20$ natural numbers:[eq60]

让它的快三一定牛质量功能 [eq56] be[eq62]

Compute the probability[eq63]

解决方案

通过使用快三一定牛的增加性, we obtain[eq64]

练习3.

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持 r_x. be[eq65]

让它的快三一定牛质量功能 [eq56] be[eq67]在哪里 [eq68] is the binomial coefficient.

Calculate the probability[eq69]

解决方案

首先注意,通过 additivity:[eq70]

因此,为了计算 [eq71], 我们需要在三个点评估快三一定牛质量功能 $x=0,$, $x=1$ and $x=2$:[eq72]

Finally,[eq73]

练习4.

Let X 是一个连续的随机变量。让它的支持 r_x. be[eq74]

让它的快三一定牛密度函数 [eq75] be[eq76]

Compute[eq77]

解决方案

连续的快三一定牛 变量在给定的时间间隔中取值等于 快三一定牛密度函数 interval:[eq78]

练习5.

Let X 是一个连续的变量。让它的支持 r_x. be[eq79]

让它的快三一定牛密度函数 [eq75] be[eq81]

Compute[eq82]

解决方案

如上前的练习, probability that X 在给定的时间间隔中取值等于其密度的积分 function over that interval:[eq83]

练习6.

Let X 是一个连续的变量。让它的支持 r_x. be[eq84]

让它的快三一定牛密度函数 [eq75] be[eq86]在哪里 $ lambda.>0$.

Compute[eq87]

解决方案

如上一项练习,我们需要 compute an integral:[eq88]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "随机变量", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/random-variables.

这本书

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