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合法概率质量功能

经过 ,博士学位

在本讲座中,我们分析了概率质量功能的两个性质。我们 证明任何概率质量功能都不满足这两个 属性,但也是满足这两个属性的任何功能都是一个 合法概率质量功能。

目录

概率质量函数的性质

任何概率质量功能满足两个基本属性,如图所示 next proposition.

命题(概率质量的性质 function) X be a discrete random variable 和 let [eq1] be its 可能性 mass function。概率质量功能 [eq2] 满足以下两个属性:

  1. 非消极性: [eq3] for any $ xin u {211d} $;

  2. 总结支持等于 1: [eq4], where  r_x. is the support of X.

证明

请记住,通过定义a 概率质量功能, [eq5] is such that[eq6]

因此,概率不能为负面,因此 [eq7] 而且,因此, [eq3]. 这证明了上述财产1(非消极性)。

此外,肯定事物的概率必须等于 1. 从那以来,通过支持的定义,事件 [eq9] is a sure thing, then[eq10]哪个 证明上述财产2(总和支持等于 1 )。

识别合法概率质量功能

任何概率质量功能必须满足上面的财产1和2。使用一些 测量理论的标准结果(这里省略),可以证明 交谈也是如此,即任何功能 [eq11] 满足上面的两个属性是概率质量功能。

命题(合法概率质量 function) [eq2] 是满足以下两个属性的函数:

  1. 非消极性: [eq3] for any $ xin u {211d} $;

  2. 总结支持等于 1: [eq4], where  r_x. is the support of X.

然后,存在离散随机变量 X 谁的概率质量功能是 [eq2].

这个命题为我们提供了一种强大的方法 构建 概率质量功能。采取一组实数的子集 [eq16]. Take any function g(x) 这是非负面的  r_x. (非负面意味着 [eq17] for any $ xin r_ {x} $ )。 If the sum[eq18] 是 明确,有限,严格阳性,然后 define[eq19]$ s $ 是严格的积极,从而 [eq2] 是非负的,它满足财产1.它还满足财产2 because[eq21]所以, any function g(x) 这是非负面的  r_x. ( r_x. 任意选择的选定)可用于构造概率质量功能 its sum over  r_x. 是明确的,有限,严格积极。

例子 Define[eq22] 和 a function g(x) as follows:[eq23] 能 we use g(x) 构建概率质量功能?首先,我们必须检查一下 g(x) 是非负面的。这显然是真的,因为 $ x ^ {2} $ 总是非负面的。然后,我们必须检查一下的总和 g(x) over  r_x. 存在,有限,严格 positive:[eq24]自从 $ s $ 存在,有限,严格阳性,我们可以 define[eq25] 经过 上述主张, [eq2] 是一个合法的概率质量功能。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

考虑以下 function:[eq27]

Prove that [eq2] 是一个合法的概率质量功能。

解决方案

为了 [eq29] we have[eq30]尽管 for [eq31] we have[eq32]所以, [eq3] for any $ xin u {211d} $ 并且满足非消极性财产。其他必要的财产 (支持支持等于 1) is also satisfied because[eq34]

练习2

考虑以下 function:[eq35]

Prove that [eq2] 是一个合法的概率质量功能。

解决方案

为了 [eq37] we have[eq38]尽管 for [eq39] we have[eq32]所以, [eq3] for any $ xin u {211d} $ 并且满足非消极性财产。其他必要的财产 (支持支持等于 1) is also satisfied because[eq42]

练习3.

考虑以下 function:[eq43]

Prove that [eq2] 是一个合法的概率质量功能。

解决方案

为了 $ xin u {2115} $ we have[eq45]因为 $ 4 ^ {1-x} $ 严格积极。为了 $x
otin U{2115} $ we have[eq32]所以, [eq3] for any $ xin u {211d} $ 并且满足非消极性财产。其他必要的财产 (支持支持等于 1) is also satisfied because[eq48]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "合法概率质量功能", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/legitimate-probability-mass-function.

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