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合法概率密度函数

经过 ,博士学位

该讲义讨论了两个特性表征概率密度的特性 功能(PDF)。不仅有任何PDF满足这两个属性,还要 满足这两个属性的任何功能都是合法的PDF。

目录

概率密度函数的性质

以下主张正式描述了两个属性。

主张 X be a continuous random variable 。 它的 可能性 density function,表示 [eq1], 满足以下两个属性:

  1. 非消极性: [eq2] for any $ xin u {211d} $;

  2. 积分 R equals 1: [eq3].

证明

请记住,通过PDF的定义, [eq4] is such that[eq5] 为了 any interval $ left [A,B
Ight] $. 因此,概率不能为负面,因此 [eq6] and[eq7] 为了 any interval $ left [A,B
Ight] $. 但以上整体可以是非负的间隔 $ left [A,B
Ight] $ 只有在Integrand函数本身是非负的,那就是,那是 [eq2] for all x. 这证明了上述财产1(非消极性)。

此外,肯定事物的概率必须等于 1. Since [eq9] is a sure thing, then[eq10]哪个 证明上面的财产2(不可或缺的 R equals 1 )。

识别合法概率密度函数

任何PDF必须满足上面的财产1和2。可以证明它也可以证明 匡威保留:享受这些属性的任何功能都是PDF。

主张 [eq4] 是满足以下两个属性的函数:

  1. 非消极性: [eq2] for any $ xin u {211d} $;

  2. 积分 R equals 1: [eq3].

然后,存在连续随机变量 X whose pdf is [eq14].

这一命题为我们提供了一种强大的构建概率方法 密度函数。采取任何非负功能  g(x) (非负面意味着 [eq15] for any $ xin u {211d} $ )。 If the integral[eq16]存在 然后是有限的,严格阳性 define[eq17]I 是严格的积极,从而 [eq4] 是非负的,它满足财产1.它还满足财产2 because[eq19] 因此, 任何非负功能  g(x) 如果它的整体结合,可用于构建PDF R 存在,有限,严格呈正。

例子 Define a function  g(x) as follows:[eq20] 如何 我们是否从中构建了PDF  g(x) ? 首先,我们需要验证  g(x) 是非负面的。但这是真的,因为 $ x ^ {2} $ 总是非负面的。然后,我们需要验证那个积分  g(x) over R 存在,有限,严格 positive:[eq21]拥有 verified that I 存在,有限,严格阳性,我们可以 define[eq22] 经过 上述主张, [eq4] is a legitimate pdf.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

考虑以下 function:[eq24]

where [eq25]. Prove that [eq26] 是一种合理的概率密度函数。

解决方案

自从 $ lambda.>0$ 并且指数函数严格为正, [eq27] for any $ xin u {211d} $, 因此满足非消极性财产。整体财产也是 satisfied because[eq28]

练习2

考虑以下 function:[eq29]

where $ l,uin u {211d} $ and $l<u$. Prove that [eq4] 是一种合理的概率密度函数。

解决方案

$l<u$ implies $ frac {1} {u-l}>0$, so [eq2] for any $ xin u {211d} $ 并且满足非消极性财产。整体财产也是 satisfied because[eq32]

练习3.

考虑以下 function:[eq33]在哪里 $ nin u {2115} $ and [eq34] is the Gamma function。证明 [eq4] 是一种合理的概率密度函数。

解决方案

记住伽玛的定义 function:[eq36][eq37] 对于任何一个明显严格肯定  $ z $ , since [eq38] 是严格的积极和 $ x ^ {z-1} $ 在整合的间隔内严格积极(除了 0 where it is 0 )。 Therefore, [eq4] 满足非消极性财产,因为这四个因素 product[eq40] 是 所有非负面的间隔 [eq41].

整体财产也满意 because[eq42]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "合法概率密度函数", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/legitimate-probability-density-functions.

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