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联合力矩产生功能

经过 ,博士学位

联合时刻产生功能的概念(关节MGF)是多变量 时刻发电机概念的概念概念。与此类似于 单一的案例,联合MGF独特地确定其联合分配 关联的随机向量,它可以用来导出 cross-moments 部分分配 differentiation.

如果您不熟悉单变量概念,请先建议您 read the lecture on 时刻产生函数.

目录

定义

让我们从一个正式的定义开始。

定义 Let X be a Kx1 random vector。如果是 expected value[eq1]存在 并为所有人有限 Kx1 real vectors $ t $ 属于封闭的矩形 H:[eq2]$ h_ {i}>0$ for all $ i = 1,LDOTS,K $, then we say that X 拥有一个联合力矩产生功能和功能 [eq3] defined by[eq4]是 called the 联合力矩产生功能 of X.

例如,我们派生标准多元正常的联合MGF random vector.

例子 Let X be a Kx1 标准多元正常随机向量。它的 support r_x. is[eq5]和 its joint 概率密度函数 [eq6] is[eq7]作为 在题为题为讲座中解释 Multivariate normal distribution, 这 K components of X are K mutually independent standard normal 随机变量,因为联合概率密度函数 X can be written as[eq8]在哪里 $ x_ {i} $ is the i - entry of x and [eq9] 是标准正常随机的概率密度函数 variable:[eq10]所以, the joint mgf of X can be derived as follows:[eq11]自从 标准正常随机变量的MGF is[eq12]然后[eq13][eq14] is defined for any $ t_ {i}在u {211d} $. As a consequence, [eq15] is defined for any $ tin u {211d} ^ {k} $.

与交叉时刻的关系

下一个命题展示了联合MGF如何用于导出 cross-moments 的 a random vector.

主张 If a Kx1 random vector X 拥有联合MGF [eq16], then X 拥有有限的订单交叉时刻 n, for any $ nin u {2115} $. 此外,如果您定义了跨时刻 n as[eq17]在哪里 [eq18] and [eq19], then[eq20]在哪里 右侧的衍生物是 n - 订单偏衍生物 [eq21] 在这一点评估 [eq22].

证明

我们不提供严格的证明 命题,但参见,例如, Pfeiffer (1978) and DasGupta (2010)。然而,主要的直觉是 非常简单。差异是线性操作,预期值是 线性操作员。这使我们能够区分预期的价值, 提供了适当的技术条件(这里省略)是 satisfied:[eq23]评估 这种衍生物在这一点 [eq24], we obtain[eq25]

以下示例显示了如何应用此命题。

例子 让我们继续前面的例子。一个关节mgf $ 2倍1美元 标准正常随机向量 X is[eq26]这 第二次跨时刻 X 可以通过采取第二次横跨部分衍生物来计算 [eq27]:[eq28]

表征联合分布

关节MGF最重要的属性之一是它完全 表征随机载体的关节分布:

主张 X and Y be two Kx1 随机载体,具有关节MGFS [eq29] and [eq30]. Denote by [eq31] and [eq32] their 联合的 distribution functions. X and Y 如果才有相同的联合分配,只有它们具有相同的关节 mgfs:[eq33]

证明

读者可以参考 Feller (2008) 对于严谨的证据。非正式的 在这里给出的证据几乎与单变量案件给出的验证几乎相同。我们 将注意力限制在这种情况 X and Y 是离散的随机载体仅服用有限的数值。到目前为止 左右方向暗示,它足以注意 that if X and Y 具有相同的分布, then[eq34]这 证明了左右左侧方向如下。表示 r_x. and $ r_ {y} $ the supports of X and Y and by [eq35] and [eq36] their joint 概率质量功能。定义两者的结合 supports:[eq37]和 表示其成员 [eq38]. The joint mgf of X can be written as[eq39]经过 相同的推理,关节MGF Y can be written as[eq40]如果 X and Y 有相同的关节mgf, then[eq41]为了 any $ t $ 属于封闭的矩形,其中两个MGF是明确定义的, and[eq42]重新排列 terms, we obtain[eq43]这 可以为每一个验证平等 $ t $ only if[eq44]为了 every i. 因此,联合概率质量功能 X and Y 等于,这意味着它们的联合分布函数也是如此 equal.

此命题通常在需要的应用中使用 证明两个关节分布相等。在这些应用中, 证明了联合力矩产生函数的平等通常更容易 而不是证明联合分配职能的平等。

更多细节

以下部分包含有关联合MGF的更多详细信息。

联合力矩产生 线性变换的功能

Let X be a Kx1 具有关节mgf的随机载体 [eq45]. Define[eq46]在哪里 $ a $是 a $ limes 1 $ 常数矢量和 $ b $是 an $ limes k $ 恒定矩阵。然后,这 $ limes 1 $ random vector Y 拥有联合MGF [eq30] and[eq48]

证明

使用MGF的定义,我们 get[eq49]如果 [eq50] 在封闭的矩形上定义 H, then [eq51] 在其他封闭的矩形上定义,其形状和位置取决于 A and $ b $.

联合力矩产生 随机向量与独立条目的功能

Let X be a Kx1 随机矢量。让它的参赛作品 X_1, ..., $ x_ {k} $ be K 具有MGF的相互独立的随机变量。表示mgf的 i - entry of X by [eq14].

然后,关节MGF X is[eq53]

证明

这一事实被证明为 follows:[eq54]

相互的共同关系的联合MGF 独立随机向量

Let X_1, ..., X_N. be n 相互独立的随机向量,所有维度 Kx1. Let Z be their sum:[eq55]然后, the joint mgf of Z 是关节mgfs的产物 X_1, ..., X_N.:[eq56]

证明

这 事实从相互独立的随机载体的性质下降 从联合的定义 mgf:[eq57]

解决练习

下面可以在接合时刻产生一些解决的练习。

练习1

Let X be a $ 2倍1美元 离散随机向量 and 表示其组件 X_1 and X_2. Let the support of X be [eq58]和 its 联合的 probability mass function be[eq59]派生 联合力矩产生功能 X, if it exists.

解决方案

通过时刻的定义产生 function, we have[eq60]明显地, 共同生成功能存在,并且它是明确的,因为 任何上述预期值都存在 $ tin u {211d} ^ {2} $.

练习2

Let [eq61]是 a $ 2倍1美元 随机向量与联合力矩产生 function[eq62]派生 预期的价值 X_1.

解决方案

moment generating function of X_1 is[eq63]这 expected value of X_1 通过采用其时刻产生的第一个衍生来获得 function:[eq64]和 evaluating it at $ t_ {1} = 0 $:[eq65]

练习3.

Let [eq66] be a $ 2倍1美元 随机向量与联合力矩产生 function[eq67]派生 the covariance between X_1 and X_2.

解决方案

我们可以使用以下协方差 formula:[eq68]这 矩生成功能 X_1 is[eq69]这 expected value of X_1 通过采用其时刻产生的第一个衍生来获得 function:[eq70]和 evaluating it at $ t_ {1} = 0 $:[eq71]这 矩生成功能 X_2 is[eq72]到 计算预期的值 X_2 我们采取了第一个衍生的瞬间产生 function:[eq73]和 evaluating it at $ t_ {2} = 0 $:[eq74]这 second cross-moment of X 通过采用联合力矩的第二次横偏衍生物来计算 generating function:[eq75]和 evaluating it at [eq76]:[eq77]所以,[eq78]

参考

Dasgupta,A.(2010) Fundamentals of 概率:第一课程,斯普林克。

Feller,W。(2008) An introduction to 概率理论及其应用,第2卷,Wiley。

Pfeiffer,P. E.(1978) Concepts of probability theory,多佛出版物。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "联合力矩产生功能", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/joint-moment-generating-function.

这本书

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