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指数 > Fundamentals of probability

指示灯功能

经过 ,博士学位

事件的指示函数是一个随机变量,它需要1 当事件发生并且在未发生事件时值0时。指标 函数通常用于概率理论,以简化符号和 prove theorems.

目录

定义

以下是正式定义。

定义 Let 欧米茄 be a sample space and $ esubseteq omega $ be an event。这 指标 function 事件的(或指示器随机变量) E, denoted by $ 1_ {e} $, is a random variable defined as follows:[eq1]

虽然事件的指标 E 通常表示 $ 1_ {e} $, 有时它也表示为 by[eq2]在哪里 $ chi $ 是希腊字母Chi。

例子 我们折腾了一个模具,1到6的六个数字中的一个可以朝上。这 sample space is[eq3]定义 the event [eq4]描述 通过句子“偶数似乎面朝上”。需要的随机变量 值1当偶数显示为面朝上并且值0否则是一个 事件指标 E. 此指标的含案例定义 is[eq5]

从上面的定义,可以很容易地看到它 $ 1_ {e} $ is a discrete random variable with support [eq6] 可能性 mass function[eq7]

特性

指示灯函数享受以下属性。

权力

The n - power of $ 1_ {e} $ is equal to $ 1_ {e} $:[eq8]因为 $ 1_ {e} $ can be either 0 or 1 and[eq9]

期望值

The expected value of $ 1_ {e} $ is equal to [eq10]:[eq11]

方差

The variance of $ 1_ {e} $ is equal to [eq12]. Thanks to the usual variance formula 和上面的权力财产,我们 obtain[eq13]

十字路口

If E and F are two events, then[eq14]因为:

  1. if $ omega在ECAP F $, then [eq15][eq16]

  2. if [eq17], then[eq18][eq19]

零概率事件的指标

Let E be a 零概率事件 and X an integrable random variable. Then,[eq20]尽管 严格证明这一事实超出了这一介绍的范围 博览会,这种财产应该是直观的。随机变量 [eq21] 所有样本点等于零 欧米茄 除了可能的积分 $ omega以e $. 预期值是值的加权平均值 $ x1_ {e} $ 可以接受,其中每个值由其各自的概率加权。这 non-zero values $ x1_ {e} $ 可以采取零概率加权,所以 [eq22] must be zero.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

考虑一个随机变量 X 和另一个随机变量 Y 定义为一个函数 X.[eq23]

Express Y 使用事件的指示函数 [eq24] and [eq25].

解决方案

表示 [eq26]这 事件指标 [eq27] and denote by [eq28]这 事件指标 [eq25]. We can write Y as[eq30]

练习2

Let X 是一个正随机变量,即可以接受的随机变量 只有正值。让 $ C $ 是一个常数。证明 [eq31]在哪里 [eq32] 是活动的指标 [eq33].

解决方案

首先注意指标的总和 [eq32] and [eq35] is always equal to 1:[eq36]作为 结果,我们可以 write[eq37]现在, note that [eq38] 是一个积极的随机变量,而那个 阳性随机的预期值 variable is positive:[eq39]因此,[eq40]

练习3.

Let E 是一个事件,并表示其指示灯 $ 1_ {e} $. Let $ e ^ {c} $ be the complement of E 并表示其指标功能 $ 1_ {e ^ {c}} $. Can you express $ 1_ {e ^ {c}} $ as a function of $ 1_ {e} $?

解决方案

两个指标的总和总是 equal to 1:[eq41]所以,[eq42]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "指示灯功能", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

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