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随机向量的功能及其分配

经过 ,博士学位

Let X be a Kx1 random vector 已知分布。让A.  $ limes 1 $ random vector Y be a function of X:[eq1] 在哪里 [eq2]. 我们如何派生分配 Y 从分布 X?

虽然这个问题没有一般答案,但有一些特别的 分布的案件 Y 可以很容易地源自分布 X. 我们讨论以下案例。

目录

一对一的功能

在该功能的情况下  g(x) 是一对一(因此可逆)和随机矢量 X 是离散或连续的,有很容易适用的公式 the distribution of Y. 我们在下面举报这些公式。

离散随机向量的一对一功能

When X is a discrete random vector joint 概率质量功能 of [eq3] 由以下命题给出。

命题(一对一的概率质量 function) X be a Kx1 离散随机矢量与支持  r_x. 和联合概率质量功能 [eq4]. Let [eq5] 支持支持一对一 X. Then, the support of [eq6] is[eq7] 和 其概率质量功能 is[eq8]

证明

如果  $ yin r_ {y} $ , then[eq9] 如果 $y
otin R_{Y}$, then trivially [eq10].

例子 Let X be a  $ 2倍1美元 离散随机向量,并表示其组件 X_1 and X_2. Let the support of X be [eq11] 和 其联合概率质量功能 be[eq12][eq13] 这 support of Y is[eq14] 这 inverse function is[eq15] 这 联合概率质量功能 Y is[eq16]

连续随机向量的一对一功能

When X is a continuous random vector and  $ g $ 是可差异的,然后也是 Y 是连续的,它 联合的 probability density function 由以下命题给出。

命题(密度一对一 function) X be a Kx1 连续随机向量与支持  r_x. 和联合概率密度函数 [eq17]. Let [eq5] 对支持是一对一的,可怜的 X. Denote by [eq19] 雅各的矩阵 [eq20], i.e.,[eq21] 在哪里  $ y_ {i} $ is the i - component of  $ y $ and  $ x_ {i} $ is the i - component of [eq22]. Then, the support of [eq23] is[eq7] 如果 雅各比亚矩阵的决定因素 satisfies[eq25] 然后 联合概率密度函数 Y is[eq26]

证明

查看:Poirier,D. J.(1995) 中级统计和经济学:比较 approach ,麻省理工学院新闻。

一个特殊情况的上述命题获取函数时  $ g $ 是一个线性一对一的映射。

主张 X be a Kx1 连续随机向量,具有关节概率密度 [eq27]. Let Y be a Kx1 random vector such that[eq28] 在哪里  亩 is a constant Kx1 vector and  Sigma. is a constant  $ kimes k $ 可逆矩阵。然后, Y 是一个连续的随机矢量,其概率密度函数 [eq29] satisfies[eq30] 在哪里 [eq31] 是决定因素  Sigma. .

证明

在这种情况下,逆函数 is[eq32] 这 Jacobian matrix is[eq33] 什么时候  $ yin r_ {y} $ the joint density of Y is[eq34]

例子 Let X be a  $ 2倍1美元 random vector with support[eq35] 和 联合概率密度 function[eq36] 在哪里  $ x_ {1} $ and  $ x_ {2} $ 是两个组成部分 x. Define a  $ 2倍1美元 random vector [eq37] with components  $ y_ {1} $ and  $ y_ {2} $ as follows:[eq38] 这 inverse function [eq20] is defined by[eq40] 这 Jacobian matrix of [eq20] is[eq42] 它的 determinant is[eq43] 这 support of  $ y_ {1} $ is[eq44] 这 support of  $ y_ {2} $ is[eq45] 和 the support of Y is[eq46] 为了  $ yin r_ {y} $ , 联合概率密度函数 Y is[eq47] 尽管 for $y
otin R_{Y}$, 联合概率密度函数是 [eq48].

独立的金额

当组件的 X are independent and[eq49] 然后 the distribution of [eq50] 可以使用讲座中所示的卷积公式衍生 entitled 独立随机变量的总和.

已知的时刻生成功能

The 联合力矩产生功能 of [eq50], 提供它存在,可以计算 as[eq52] 使用 the transformation theorem 。 如果 [eq53] 被认为是已知分布的联合力矩产生功能, 然后这样的分布是分布 Y (只有当它们具有相同的分配时,两个随机载体 相同的关节力矩产生功能,提供后者存在)。

已知的特征功能

The 联合的 characteristic function of [eq50] can be computed as[eq55] 使用 转型定理。如果 [eq56] 被认为是已知分布的关节特征功能, 然后这样的分布是分布 Y (只有当它们具有相同的分配时,两个随机载体 相同的联合特征功能)。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X_1 be a 均匀随机变量 with support[eq57] 和 probability density function[eq58]X_2 是一个连续的随机变量,独立于 X_1, with support[eq59] 和 probability density function[eq60][eq61] 找 随机载体的联合概率密度函数 [eq62]

解决方案

自从 X_1 and X_2 是独立的,它们的联合概率密度函数等于 其边缘密度的产品 functions:[eq63] 这 support of  $ y_ {1} $ is[eq64] 和 the support of  $ y_ {2} $ is[eq65] 这 support of Y is[eq66] 这 function [eq67] 是一对一及其逆 [eq68] is defined by[eq69] 和 Jacobian matrix[eq70] 这 雅各比亚克斯的决定因素 is[eq71] 哪个 与任何不同的不同  $ y $ belonging to  $ r_ {y} $ . 联合概率密度函数的公式 Y is[eq72][eq73] 哪个 implies[eq74]

练习2

Let X be a  $ 2倍1美元 random vector with support[eq75] 和 联合概率密度 function[eq76] 在哪里  $ x_ {1} $ and  $ x_ {2} $ 是两个组成部分 x. Define a  $ 2倍1美元 random vector [eq50] with components  $ y_ {1} $ and  $ y_ {2} $ as follows:[eq78] 找 随机载体的联合概率密度函数 Y.

解决方案

逆功能 [eq20] is defined by[eq80] 这 Jacobian matrix of [eq20] is[eq82] 它的 determinant is[eq83] 这 support of  $ y_ {1} $ is[eq84] 这 support of  $ y_ {2} $ is[eq85] 这 support of Y is[eq86] 为了  $ yin r_ {y} $ , 联合概率密度函数 Y is[eq87] 尽管 for $y
otin R_{Y}$, 联合概率密度函数是 [eq88].

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "随机向量的功能及其分配", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/functions-of-random-vectors.

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