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随机变量的功能及其分发

经过 ,博士学位

Let X be a random variable 已知分布。让 另一个随机变量 Y be a function of X:[eq1]在哪里 [eq2]. 我们如何派生分配 Y 从分布 X?

这个问题没有一般答案。但是,有几个 易于推导分配的特殊情况 Y. 我们讨论以下案例。

目录

严格增加职能

When the function $ g $ 严格增加了 support of X (i.e. [eq3]), then $ g $ 承认支持支持的反向 Y, i.e. a function [eq4] such that[eq5]此外 [eq6] 本身就是严格增加。

无随机的严格增加函数的分布函数 变量可以如下计算。

命题(分布增加 function) Let X 是支持的随机变量 r_x. and 分配功能 [eq7]. Let [eq2] 严格增加支持 X. Then, the support of [eq9] is[eq10]和 分布功能 Y is[eq11]

证明

当然,支持 $ r_ {y} $ is determined by g(x) 并通过所有的价值观 X 可以采取。分布功能 Y 可以衍生如下:

  1. if $ y $ 低于最低值 Y can take on, then [eq12], so[eq13]

  2. if $ y $ 属于支持 Y, then [eq14] 可以衍生如下: [eq15]

  3. if $ y $ 高于最高值 Y can take on, then [eq16], so[eq17]

因此,在越来越多的函数,知识 $ g ^ { -  1} $ 以及支持的上下边界 Y 我们所需要推导出分发功能 Y 从分布函数 X.

例子 Let X 是支持的随机变量 [eq18] and distribution function[eq19][eq20]这 function [eq21] 严格增加,它承认对支持的反向 X:[eq22]这 support of Y is [eq23]. 分布功能 Y is[eq24]

在其中的情况下 X 是离散或连续的,有专门的公式 下面报道的概率质量和概率密度函数。

严格越来越多的离散随机变量

When X is a discrete random variable, 这 可能性 mass function of [eq25] 可以如下计算。

命题(增加的概率质量 function) X 是一个离散随机变量,支持 r_x. 和概率质量功能 [eq26]. Let [eq2] 严格增加支持 X. Then, the support of [eq9] is[eq10]和 其概率质量功能 is[eq30]

证明

这个命题是一种琐碎的后果 严格增加的功能是 invertible:[eq31]

例子 Let X 是一个离散随机变量,支持 [eq32]和 概率质量功能 [eq33][eq34]这 support of Y is[eq35]这 function $ g $ 严格增加,其逆 is[eq36]这 概率质量功能 Y is[eq37]

严格增加连续的功能 random variable

When X is a continuous random variable and $ g $ 是可差异的,然后也是 Y 是连续的,它 可能性 density function 可以很容易地计算如下。

命题(越来越多的密度 function) X 通过支持是一个连续的随机变量 r_x. 和概率密度函数 [eq38]. Let [eq2] 严格增加和差别对支持 X. Then, the support of [eq40] is[eq10]和 其概率密度函数 is[eq42]

证明

这个命题是一种琐碎的后果 the fact that 密度函数是第一个 分布函数的衍生物:它可以通过 区分分布函数的表达式 [eq43] found above.

例子 Let X 是一个连续的随机变量 support[eq44]和 probability density function[eq45][eq46]这 support of Y is[eq47]这 function $ g $ 严格增加,其逆 is[eq48]和 derivative[eq49]这 概率密度函数 Y is[eq50]

严格减少职能

When the function $ g $ 严格下降了支持 X (i.e. [eq51]), then $ g $ 承认支持支持的反向 Y, i.e. a function [eq4] such that[eq5]此外 [eq6] 本身就严格下降。

随机逐渐减小函数的分布函数 变量可以如下计算。

命题(分布减少 function) Let X 是支持的随机变量 r_x. 和分发功能 [eq55]. Let [eq2] 严格减少支持 X. Then, the support of [eq9] is[eq10]和 分布功能 Y is[eq59]

证明

当然,支持 $ r_ {y} $ is determined by g(x) 并通过所有的价值观 X 可以采取。分布功能 $ y $ 可以衍生如下:

  1. if $ y $ 低于最低值 Y can take on, then [eq60], so[eq13]

  2. if $ y $ 属于支持 Y, then [eq14] 可以衍生如下: [eq63]

  3. if $ y $ 高于最高值 Y can take on, then [eq16], so[eq17]

因此,也在函数下降的情况下,知识 $ g ^ { -  1} $ 以及支持的上下边界 Y 我们所需要推导出分发功能 Y 从分布函数 X.

例子 Let X 是支持的随机变量 [eq18] and distribution function[eq19][eq68]这 function [eq69] 严格下降,它承认对支持的反向 X:[eq70]这 support of Y is [eq71]. 分布功能 Y is[eq72]在哪里 [eq73] equals 1 when $y=-1$ and 0 otherwise (because [eq74] 除了什么时候总是零 $y=-1$ and [eq75])。

我们向公式报告特殊情况的公式 X 是离散或连续的。

严格减少离散随机变量的函数

When X 是一个离散的随机变量,概率质量功能 [eq76] 可以如下计算。

命题(减少的概率质量 function) X 是一个离散随机变量,支持 r_x. 和概率质量功能 [eq77]. Let [eq2] 严格减少支持 X. Then, the support of [eq9] is[eq10]和 其概率质量功能 is[eq30]

证明

这个命题的证明是相同的 为了严格增加职能的命题证明。实际上, 重要的是严格下降的函数的财产是 invertible:[eq31]

例子 Let X 是一个离散随机变量,支持 [eq32]和 概率质量功能 [eq84][eq85]这 support of Y is[eq86]这 function $ g $ 严格下降及其逆 is[eq87]这 概率质量功能 Y is[eq88]

严格降低连续的功能 random variable

When X 是一个连续的随机变量和 $ g $ 是可差异的,然后也是 Y 是连续的,其概率密度函数衍生如下。

命题(减少密度 function) X 通过支持是一个连续的随机变量 r_x. 和概率密度函数 [eq89]. Let [eq2] 对支持严格下降和可差 X. Then, the support of [eq40] is[eq10]和 其概率密度函数 is[eq93]

证明

这个命题很容易导出:1) remembering that the 可能性 that a 连续随机变量接受任何特定值 is 0 而且,因此, [eq94] for any $ y $; 2)使用密度函数是第一个衍生物的事实 分配功能; 3)区分分布的表达 function [eq43] found above.

例子 Let X be a 均匀随机变量 on the interval $left[ 0,1
ight] $, 即,连续随机变量 support[eq96]和 probability density function[eq97][eq98]在哪里 [eq99] 是一个常数。支持 Y is[EQ100]在哪里 我们可以安全地忽略这一事实 [EQ101], because [EQ102] is a 零概率事件 (see 连续随机变量和 零概率事件)。功能 $ g $ 严格下降及其逆 is[EQ103]和 derivative[EQ104]这 概率密度函数 Y is[EQ105]所以, Y 具有参数的指数分布 $ lambda $ (参见题为有权的讲座 Exponential distribution)。

可逆的功能

在该功能的情况下 g(x) 既不严格增加也不是严格下降,公式 离散和连续随机变量的前一节仍然存在 applicable, provided g(x) 是一对一,因此可逆。我们在下面举报这些公式。

离散随机变量的一对一函数

When X 是一个离散的随机变量,概率质量功能 [EQ106] 由以下内容提供。

命题(一对一的概率质量 function) X 是一个离散随机变量,支持 r_x. 和概率质量功能 [EQ107]. Let [eq2] 支持支持一对一 X. Then, the support of [EQ109] is[eq10]和 其概率质量功能 is[eq30]

证明

这个命题的证明是相同的 证明严格增加和严格的命题 发现函数减少 above:[eq31]

连续随机变量的一对一函数

When X 是一个连续的随机变量和 $ g $ 是可差异的,然后也是 Y 是连续的,其概率密度函数由以下内容给出 proposition.

命题(密度一对一 function) X 通过支持是一个连续的随机变量 r_x. 和概率密度函数 [EQ113]. Let [eq2] 对支持是一对一的,可怜的 X. Then, the support of [eq40] is[eq10]如果[EQ117]然后 概率密度函数 Y is[EQ118]

证明

对于这个命题的证据,请参阅: Poirier,D. J.(1995) 中级统计数据 计量经济学:比较方法,麻省理工学院 Press.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个连续的随机变量 support[EQ119]和 probability density function[EQ120][EQ121]找 概率密度函数 Y.

解决方案

支持 Y is[EQ122]这 function $ g $ 严格增加,其逆 is[EQ123]和 derivative[EQ124]这 概率密度函数 Y is[Eq125]

练习2

Let X 是一个连续的随机变量 support[EQ126]和 probability density function[EQ127][EQ128]找 概率密度函数 Y.

解决方案

支持 Y is[EQ129]这 function $ g $ 严格下降及其逆 is[EQ130]和 derivative[EQ131]这 概率密度函数 Y is[EQ132]

练习3.

Let X 是一个离散随机变量 support[EQ133]和 probability mass function[EQ134][EQ135]找 概率质量功能 Y.

解决方案

支持 Y is[Eq136]这 function $ g $ 严格增加,其逆 is[EQ137]这 概率质量功能 Y is[Eq138]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "随机变量的功能及其分发", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/functions-of-random-variables-and-their-distribution.

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