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共同快三一定牛质量功能的分解

经过 ,博士学位

给定两个离散随机变量(或随机向量) X and Y, their joint 快三一定牛质量功能 可以被修改为:

  1. the conditional 快三一定牛质量功能 of X given Y = Y.;

  2. the marginal 快三一定牛质量功能 of Y.

目录

分解

下一个命题提供了一个正式的分解声明。

主张 Let [eq1] be a discrete random vector with support $ r_ {xy} $ 和联合快三一定牛质量功能 [eq2]. Denote by [eq3] 条件快三一定牛质量功能 X given Y = Y. and by [eq4] 边缘快三一定牛质量功能 Y. Then,[eq5]为了 any x and $ y $.

证明

看到题为题为的讲座 条件快三一定牛分布.

一个分解方法

如果我们需要从联合快三一定牛质量功能中获得两个因素, 我们通常执行两个步骤:

  1. marginalize [eq6] 通过对所有可能的价值观求和 x 并获得边际快三一定牛质量功能 [eq7];

  2. divide [eq8] by [eq9] 并获得条件快三一定牛质量功能 [eq10] (只有在 [eq11])。

当第一步(边缘化)太难执行时,可以 由于猜测和验证程序避免它。以下命题 shows how.

主张 假设有两个功能 [eq12] and $hleft( y
ight) $ such that

  1. for any x and $ y $, the following holds:[eq13]

  2. for any fixed $ y $, [eq14], 被认为是一个职能 x, 是快三一定牛质量功能。

Then, [eq15]

证明

我们利用了边缘的事实 快三一定牛质量功能 Y needs to satisfy[eq16]使用 此属性与财产1一起在主张中,我们 obtain[eq17]这 最后的平等是对任何固定的事实的结果 $ y $, [eq18], 被认为是一个职能 x, 是快三一定牛质量功能和快三一定牛质量功能的总和 its support equals 1. Thus,[eq19]自从 we also have that[eq20]然后, 必要,它必须是 that[eq21]

因此,猜测和验证过程如下工作。首先,我们表达了 关节快三一定牛质量函数作为两个因素的产物(这是 “猜测”部分)。然后,我们验证:

  1. 一个因素(一个功能 x and $ y $) 是快三一定牛质量功能 x for all values of $ y $;

  2. 另一个因素(一种功能 $ y $) does not depend on x.

例子 Let X be a $ 3 $ 1 $ 随机矢量有一个 多项分布 with parameters $ p_ {1} $, $ p_ {2} $ and $ p_ {3} $ (每次试验的三种可能结果的快三一定牛)和 n (试验的数量)。快三一定牛是严格的正数 that[eq22]这 support r_x. of X is[eq23]这 联合快三一定牛质量功能 [eq24] is[eq25]笔记 that[eq26]所以, 联合快三一定牛质量功能可以是分解的 as[eq27]在哪里[eq28][eq29]但, for any $ x_ {3} LEQ N $, [eq30] 是具有参数的多项分布的快三一定牛质量功能 $ p_ {1} / p_ {3} $, $ p_ {2} / p_ {3} $ and $ n-x_ {3} $. Therefore,[eq31]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "共同快三一定牛质量功能的分解", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/factorization-of-joint-probability-mass-functions.

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