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预期价值的属性

经过 ,博士学位

本讲座讨论了预期价值的一些基本属性 操作员。尽管大多数这些属性可以被理解和证明使用 以前的讲座呈现的材料,这里收集了一些属性 为方便起见,只有在阅读后才可以证明和理解 材料在连续讲座中呈现。

目录

预期价值的线性

以下属性与预期值的线性有关。

标量变量的乘法

If X 是一个快三一定牛变量和 $ ain u {211d} $ is a constant, then[eq1]这 题为讲座的财产已经讨论过 Expected value.

例子 Let X 是预期的快三一定牛变量 value[eq2]和 let Y 是一个快三一定牛变量定义为 follows:[eq3]然后,[eq4]

快三一定牛变量的总和

If X_1, X_2, ..., $ x_ {k} $ are K random variables, then[eq5]还 该财产已经在题为讲座中讨论过 Expected value.

例子 Let X and Y 是预期的两个快三一定牛变量 values[eq6]和 let Z 是一个快三一定牛变量定义为 follows:[eq7]然后,[eq8]

快三一定牛变量的线性组合

If X_1, X_2, ..., $ x_ {k} $ are K random variables and [eq9] are K constants, then[eq10]这 可以通过组合上面的两个属性来术语(标量 乘法和总和)。考虑 [eq11] as the K entries of a $ 1 k $ vector a and X_1, X_2, ..., $ x_ {k} $ as the K entries of a Kx1 random vector X. 然后可以写上面的财产 as[eq12]哪个 是多变量的概括 Scalar multiplication property above.

例子 Let X and Y 是预期的两个快三一定牛变量 values[eq13]和 let Z 是一个快三一定牛变量定义为 follows:[eq14]然后,[eq15]

添加恒定的矩阵 和一个快三一定牛条目的矩阵

Let Sigma. be a $ kimes l $ random matrix,即,a $ kimes l $ 矩阵其条目是快三一定牛变量。如果 A is a $ kimes l $ matrix of constants, then[eq16]这 通过将上面的线性属性应用于每个条目来容易证明 the random matrix $ a + sigma $.

Note that a 快三一定牛矢量只是快三一定牛的特定实例 matrix。因此,如果 X is a Kx1 random vector and a is a Kx1 vector of constants, then[eq17]

例子 Let X be a $ 2倍1美元 快三一定牛矢量,使其两个条目 X_1 and X_2 have expected values[eq18]A be the following $ 2倍1美元 constant vector:[eq19]让 the random vector Y be defined as follows:[eq20]然后,[eq21]

常量常量 矩阵和快三一定牛条目的矩阵

Let Sigma. be a $ kimes l $ 快三一定牛矩阵,即,a $ kimes l $ 矩阵其条目是快三一定牛变量。如果 $ b $ is a $哑法k $ matrix of constants, then[eq22]如果 $ C $ is a a $ limes n $ matrix of constants, then[eq23]这些 是上面线性性质的即时后果。

通过迭代地应用此属性,如果 $ b $ is a $哑法k $ 常量矩阵和 $ C $ is a a $ limes n $ 常量矩阵,我们 obtain[eq24]

例子 Let X be a $ 1 2美元 random vector such that[eq25]在哪里 X_1 and X_2 是两个组成部分 X. Let A be the following $ 2 $ 2 $ matrix of constants:[eq26]让 the random vector Y be defined as follows:[eq27]然后,[eq28]

其他属性

预期值的以下属性也非常重要。

期望积极的 random variable

Let X be an integrable random variable 在A上定义 sample space 欧米茄. Let [eq29] for all 欧米茄在欧米茄 (i.e., X 是一个正快三一定牛变量)。 Then,[eq30]直觉, 这很明显。预期的价值 X 是值的加权平均值 X can take on. But X 只能占据正值。因此,它的预期价值也必须是 积极的。正式,预期的价值是 Lebesgue integral of X, and X 可以通过积极简单快三一定牛近似于任何程度的准确度 lebesgue积分是积极的变量。因此,也是Lebesgue integral of X must be positive.

保护几乎确定的不平等

Let X and Y 是示例空间上定义的两个可集成快三一定牛变量 欧米茄. Let X and Y be such that $ xleq y $ almost surely (换句话说,那里 exists a 零概率事件 E such that [eq31])。 Then,[eq32]

证明

E 是一个零概率事件,这样 [eq33]第一的, note that[eq34]在哪里 $ 1_ {e} $ is the indicator 的 the event E and $ 1_ {e ^ {c}} $ 是补充的指标 E. 结果,我们可以写 [eq35]经过 我们有零概率事件指标的属性 [eq36]因此, we can write[eq37]现在, when $ oomga在e ^ {c} $, then [eq38] and [eq39]. 相反,何时 $ omega以e $, then $ 1_ {e ^ {c}} = 0 $ and [eq40]. Therefore, [eq41] for all 欧米茄在欧米茄 (i.e., [eq42] 是一个正快三一定牛变量)。因此,由以前的财产 ( 期望正快三一定牛变量), 我们有 [eq43]哪个 implies [eq44]经过 我们的线性程度,我们 get[eq45]所以,[eq32]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X and Y 有两个快三一定牛变量,预期 values:[eq47]

计算快三一定牛变量的预期值 Z defined as follows:[eq48]

解决方案

使用预期值的线性 operator, we obtain[eq49]

练习2

Let X be a $ 2倍1美元 快三一定牛矢量,使其两个条目 X_1 and X_2 have expected values[eq50]

Let A be the following $ 2 $ 2 $ matrix of constants:[eq51]

计算快三一定牛向量的预期值 Y defined as follows:[eq52]

解决方案

预期的线性属性 值也适用于常量矩阵和快三一定牛的乘法 vector:[eq53]

练习3.

Let Sigma. be a $ 2 $ 2 $ 具有快三一定牛条目的矩阵,使其其所有条目具有预期的价值 equal to 1. Let A be the following $ 1 2美元 constant vector:[eq54]计算 快三一定牛向量的预期值 Y defined as follows:[eq55]

解决方案

预期的线性属性 价值也适用于常量矢量和矩阵的乘法 with random entries:[eq56]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "预期价值的属性", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/expected-value-properties.

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