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预期值和Lebesgue积分

经过 ,博士学位

lebesgue积分用于提供完全一般的定义 期望值。这次讲座介绍了Lebesgue积分,首先是一个 直观的方式,然后以更严格的方式。

目录

Lebesgue积分 - 直觉

让我们回想起我们所提供的预期价值的非正式定义 lecure entitled Expected Value:

定义 The 期望值 A. random variable X 是值的加权平均值 X 可以采取,每个可能的值都是相应的 probability.

When X 是离散的,只有有限的许多值,它都是直截了当的 计算预期的值 X, 只需应用上述定义即可。表示 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ the n values that X can take on (the n 其支持的元素)并定义以下内容 events:[eq1]IE。 when the event $ e_ {i} $ happens, then X equals $ x_ {i} $.

我们可以写出预期的价值 X as[eq2]IE。 预期的价值 X 是值的加权平均值 X can take on ($ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $), 每个可能的价值 $ x_ {i} $ 由其各自的概率加权 [eq3].

请注意,这是一种表达既不使用的预期值的方式 [eq4], the 分配功能 of X, nor its 可能性 mass function [eq5]. 相反,表达预期值的上述方式仅使用 probability [eq6] 在事件上定义 $ esubseteq omega $. 在许多应用中,事实证明这是一种非常方便的方式 表达(和计算)预期值:例如,当 分配功能 [eq7] 不直接知道,很难导出,有时更容易 直接计算概率 [eq6] 在事件上定义 $ esubseteq omega $. 下面,这将被说明 example.

When X 是离散的,但可以采取无限的价值,以类似的方式 can write[eq9]

然而,在这种情况下,有可能存在这种情况 [eq10] 没有明确定义:当上面的无限系列没有时会发生这种情况 汇合,即,当 limit[eq11]做 不存在。在下一节中,我们将展示如何照顾这一点 possibility.

In the case in which X 在不离散的(其支持有连续体的力量),事情很多 更复杂。在这种情况下,以上求和没有任何意义 (the support of X 不能安排进入 sequence 和 so there is 没有序列,我们可以求和。因此,我们必须找到一个解决方法。这 替代方法类似于我们在演示中讨论的 Stieltjes integral:我们建立一个更简单的 random variable Y 这是一个很好的近似 X 并且可以轻松计算其预期值;然后我们制作 近似越来越好;最后,我们定义了预期的价值 X 等于预期的价值 Y 当近似倾向于变得完美时。

近似是如何直观的?我们以三个步骤说明它:

  1. 在第一步中,我们分区示例空间 欧米茄 into n events $ e_ {1} $, ..., $ e_ {n} $, such that [eq12] for $i
eq j$ and[eq13]

  2. 在我们发现的第二步中,对于每次活动 $ e_ {i} $, 最小的价值 X 事件时可以接受 $ e_ {i} $ happens:[eq14]

  3. 在第三步中,我们定义了随机变量 Y (which approximates X) as follows:[eq15]

通过这种方式,我们建立了一个随机变量 Y such that [eq16] for any 欧米茄. 细分较好 $ e_ {1} $, ..., $ e_ {n} $ 是,近似值越好:直观,当集合时 $ e_ {i} $ become smaller, then $ y_ {i} $ 变得更靠近值 X takes on when $ e_ {i} $ happens.

预期的价值 Y 当然是易于 compute:[eq17]

预期的价值 X is defined as follows:[eq18]在哪里 the notation $Y
ightarrow X$ means that Y 变得更好的近似 X (因为分区 $ e_ {1} $, ..., $ e_ {n} $ is made finer).

几个等效的积分符号用于表示上述内容 limit:[eq19]和 积分被称为Lebesgue积分 X 关于概率措施 $ qtr {rm} {p} $. The notation $ dqtr {rm} {p} $ (or $ Domega $) 表示该集合 $ e_ {i} $ 通过改善近似(制作分区,变得非常小 $ e_ {1} $, ..., $ e_ {n} $ 更好的);积分表示法 $ int $ 可以被认为是一个速记 [eq20]; X appears in place of Y 在积分中,因为两者往往会在近似时重合 变得越来越好。

Lebesgue积分的线性

Lebesgue积分享有的重要属性是 线性.

主张 Let X_1 and X_2 是两个随机变量并让 $ c_ {1} U {211d} $ and $ c_ {2}在u {211d} $ be two constants. Then,[eq21]

下一个例子显示了线性的重要应用 Lebesgue积分。该示例还展示了Lebesgue Integral Can如何, 某些情况,使用比Stieltjes积分更简单 计算随机变量的预期值。

例子 X_1 and X_2 是两个随机变量。我们希望定义(并计算)预期的值 the sum $ x_ {1} + x_ {2} $. 定义一个新的随机变量 Z:[eq22]使用 Stieltjes积分,预期值被定义为 follows:[eq23]在哪里 [eq24] 是分布功能 Z. 因此,为了计算上述积分,我们首先需要了解分发 function of Z (这可能非常难以得出)。通过使用lebesgue 积分,预期值被定义为 follows:[eq25]然而, 通过Lebesgue积分的线性,我们 obtain[eq26]因此, 计算预期的值 $ z = x_ {1} + x_ {2} $, 我们不需要知道分发功能 Z, 但我们只需要知道预期的价值 X_1 and X_2.

因此,该示例显示了Lebesgue的线性积分漫步 translates into 预期价值的线性.

主张 Let X_1 and X_2 是两个随机变量并让 $ c_ {1} U {211d} $ and $ c_ {2}在u {211d} $ be two constants. Then,[eq27]

Lebesgue积分 - 更严格的定义

更严格的Lebesgue积分定义需要我们介绍 the notion of a 简单随机变量。随机变量 Y 如果它需要有限的许多正值,那就是很简单,就是那里 exist n events $ e_ {1} $, ..., $ e_ {n} $ such that [eq28] for $i
eq j$ and [eq29] and[eq30]此外 $ y_ {i} geq 0 $ for all i.

注意,简单的随机变量也是离散随机变量。因此, 简单随机变量的预期值易于计算(它只是 其支持的元素的加权总和)。

简单随机变量的lebesgue积分 Y 被定义为等于其预期 value:[eq31]

Let X 是我们想要计算的一体的随机变量。让 $ x ^ {+} $ and $ x ^ { - } $ 是积极和消极的部分 X respectively:[eq32]笔记 that [eq33], [eq34] for any 欧米茄 and[eq35]

lebesgue积分的 $ x ^ {+} $ is defined as follows:[eq36]在 单词,lebesgue积分 $ x ^ {+} $ 是通过在所有的Lebesgue积分的超市获得 simple functions Y that are less than $ x ^ {+} $.

lebesgue积分的 $ x ^ { - } $ is defined as follows:[eq37]最后, lebesgue积分的 X 被定义为它积极的积分与积分之间的差异 negative parts:[eq38]假如 差异有意义;如果两者都有 [eq39] and [eq40] 既等于无穷大,那么差异就没有明确定义,我们说 that X is not integrable.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "预期值和Lebesgue积分", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/expected-value-and-Lebesgue-integral.

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