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期望值

通过 博士

期望值的概念 random variable 是概率论中最重要的概念之一。

目录

直觉

这个概念最早是在17世纪提出的,用于分析赌博游戏 并回答以下问题:

如果游戏(或下注)及其相关的可能结果 概率由随机变量描述,那么这些问题可以是 通过计算其期望值来回答。

期望值是指可能实现的加权平均值。 随机变量(游戏可能的结果)。每个实现是 由其概率加权。

例如,如果您玩的游戏以1/2的概率获得2 $,而您 损失1 $的概率为1/2,则游戏的期望值为一半 dollar:[eq1]

这是什么意思?粗略地说,这意味着如果您玩此游戏 很多次,并且两种可能结果各自发生的次数 与它的概率成正比,那么平均每次您获得1/2 $ you play the game.

例如,如果您玩游戏100次,则赢得50次而输掉 剩下的50,那么您的平均获胜额等于预期 value:[eq2]

通常,对期望值进行严格定义需要相当 重型数学仪器。为了简单起见,我们提供了非正式的 期望值的定义,我们在本讲座中讨论其计算, 在我们对(可选)讲义进行更严格的定义时 entitled 期望值和勒贝格积分.

定义

以下是对期望值的非正式定义。

定义(非正式) The 期望值 的 a random variable X 是值的加权平均值, X 可以承担,每个可能的值都由其各自的值加权 probability.

随机变量的期望值 X is denoted by [eq3] 它通常被称为 期望 of X or the 意思 of X.

以下各节讨论随机变量的期望值如何 computed.

离散随机变量的期望值

When X is a discrete random variable having support  R_X and probability mass function [eq4], 计算其期望值的公式很简单 实施上述非正式定义的预期结果: X 是值的加权平均值, X 可以承担(  R_X ), 每个可能的值 $ xin R_ {X} $ 由其各自的概率加权 [eq5].

定义 Let X 是具有支持的离散随机变量  R_X 和概率质量函数 [eq6]. 的期望值 X is[eq7] 提供 that[eq8]

The symbol [eq9] 表示 汇总支持的所有要素  R_X .

For example, if [eq10] 然后 [eq11]

The requirement that [eq12] 是 called 绝对可总结性 并确保总和 [eq13] 是 明确定义的支持  R_X 包含无限多的元素。

当对无限多个项求和时,求和顺序可以改变 总和的结果。但是,如果这些术语是绝对可加的,则 您求和的顺序无关紧要。

在上述期望值定义中, sum[eq14] 是 未指定,因此引入了绝对可加性的要求 为了确保期望值定义明确。

当绝对可加性条件不满足时,我们说 expected value of X 定义不明确或不存在。

Let X 在支持下成为随机变量 [eq15] and probability mass function[eq16] 它的 expected value is[eq17]

连续随机变量的期望值

When X is a continuous random variable with probability density function [eq18], 计算其期望值的公式包含一个积分,该积分可以 被认为是求和的极限情况 [eq19] 在上面的离散情况下找到。

定义 Let X 是具有概率密度函数的连续随机变量 [eq20]. 的期望值 X is[eq21] 提供 that[eq22]

粗略地说,这个积分是公式的极限情况。 离散随机变量的期望值 [eq23]

Here, [eq24] is replaced by [eq25] (的无穷小概率 x) 和整数符号 [eq26] 替换求和符号 $ sum_ {xin R_ {X}} $.

The requirement that [eq27] 是 called 绝对可积性 并确保不当 integral [eq28] 是 well-defined.

这个不适当的积分是一个简写 for[eq29] 和 仅当两个限制都是有限的时,它才是明确定义的。绝对可整合性 保证满足后一个条件,并且期望值为 well-defined.

当不满足绝对可积性条件时,我们说 expected value of X 定义不明确或不存在。

Let X 在支持下成为连续随机变量 [eq30] 和概率密度 function[eq31] 哪里  $ lambda >0$. Its expected value is[eq32]

一般而言,随机变量的期望值: 黎曼-斯蒂尔杰斯积分

本节介绍了用于计算期望值的一般公式 a random variable X. 公式,不需要 X 是离散的或连续的,并且适用于任何随机变量, 涉及一个称为Riemann-Stieltjes积分的积分。当我们简短地 为了完整起见,请讨论此公式,而无需深入了解 需要理解此公式或黎曼-斯蒂尔杰斯积分 the other lectures.

定义 Let X 是具有的随机变量 分配功能 [eq33]. 的期望值 X is[eq34] 哪里 the integral is a 黎曼-斯蒂尔杰斯积分 和 the 期望值存在且仅在积分为 well-defined.

粗略地说,这个积分是公式的极限情况。 离散随机变量的期望值 [eq35] Here [eq36] replaces [eq37] (the probability of x) 和整数符号 [eq38] 替换求和符号 $ sum_ {xin R_ {X}} $.

以下部分简要介绍了以下内容: Riemann-Stieltjes积分和上述公式的解释。减 技术导向的读者可以放心地跳过它:当他们遇到 Riemann-Stieltjes积分,他们可以将其视为形式符号 可以统一处理离散和连续随机变量 在一种情况下可以被视为和,而在一种情况下可以被视为普通的黎曼积分 the other.

黎曼-斯蒂尔杰斯积分:直觉

正如我们在上面已经看到的,离散随机数的期望值 变量易于计算:离散变量的期望值 variable X 是值的加权平均值, X 可以承担(支持的要素  R_X ), 每个可能的值 x 由其各自的概率加权 [eq39]:[eq40] 要么, 写的略有不同 fashion,[eq41]

When X 不是离散的,上述总和没有任何意义。但是,有 一种允许将公式扩展为随机变量的解决方法 不是离散的。解决方法需要近似 X 离散变量只能采用有限的多个值。

Let  $ x_ {0} $ , $ x_ {1} $ ,...,  $ x_ {n} $ be $n+1$ real numbers ($ nin U {2115} $) such that:[eq42]

定义一个新的随机变量  X_n (function of X) as follows:[eq43]

As the number n 的点数增加,并且点数越来越近(最大 两个连续点之间的距离趋于零),  X_n 成为一个非常好的近似 X, 直到在极限范围内与 X.

的期望值  X_n is easy to compute:[eq44] 哪里 [eq45] 是...的分布函数 X.

的期望值 X 然后定义为 [eq46] when n 趋于无穷大(即,当近似值变得更好并且 better):[eq47]

当后一个限制存在且定义明确时,称为 Riemann-Stieltjes积分 x with respect to [eq48] 它表示为 follows:[eq49]

粗略地说,积分符号 [eq50] 可以被认为是 [eq51] 和微分符号 [eq52] 可以被认为是 [eq53].

如果您不熟悉Riemann-Stieltjes积分,请确保您 还读了演讲 Computing the Riemann-Stieltjes积分:一些规则,然后阅读下一个示例。

Let X 在支持下成为随机变量 [eq54] and distribution function[eq55] 它的 expected value is[eq56]

一般而言,随机变量的期望值: Lebesgue integral

期望值的完全通用和严格的定义基于 勒贝格积分。我们在下面报告,不作进一步评论。减 具有技术倾向的读者可以放心地跳过它,而感兴趣的读者可以 在标题为“讲座”的讲座中了解更多 Expected 值和勒贝格积分.

定义 Let  欧米茄 be a sample space, $ QTR {rm} {P} $ 根据以下事件定义的概率度量  欧米茄 and X 在上定义的随机变量  欧米茄 . 的期望值 X is[eq57] 提供 $ int XdQTR {rm} {P} $ (的勒贝格积分 X with respect to $ QTR {rm} {P} $) 存在并且定义明确。

更多细节

下一部分包含有关期望值的更多详细信息。

变换定理

期望值的重要属性,称为变换定理, 允许轻松计算随机函数的期望值 variable.

Let X 是一个随机变量。让 [eq58] 是一个真正的功能。定义一个新的随机变量 Y as follows:[eq59]

Then,[eq60] 提供 上述积分存在。

这是重要的属性。它说,如果您需要计算 expected value of [eq61], 您不需要知道 Y 及其分布函数 [eq62]: 您可以通过替换来计算 x with  克(x) 在公式的期望值中 X.

对于离散随机变量,公式变为 [eq63] 而 对于连续随机变量 is[eq64] 它 有可能(尽管很简单)证明以上两个公式成立 also when X is a K尺寸 random vector, [eq65] 是...的真正功能 K variables and [eq66].

When X is a discrete random vector and [eq67] 是它的联合概率函数, then[eq68]

When X is an continuous random vector and [eq69] 是它的关节密度函数, then[eq70]

期望值的线性

If X 是一个随机变量, Y 是另一个随机变量,例如 that[eq71] 哪里 $ ain U {211d} $ and $ bin U {211d} $ 是两个常数,则以下 holds:[eq72]

证明

对于 离散随机变量,证明为 follows:[eq73] 对于 连续随机变量的证明 is[eq74] 在 通常,线性性质是变换定理的结果 并且黎曼-斯蒂尔杰斯积分是线性的 operator:[eq75]

拥有更强的线性特性,其中涉及两个(或多个)随机 变量。只能使用Lebesgue积分证明该性质(请参见 the lecture entitled 期望值与Lebesgue integral )。

该属性如下:let X_1 and X_2 是两个随机变量,让 $ c_ {1} in U {211d} $ and $ c_ {2} in U {211d} $ be two constants; then[eq76]

随机向量的期望值

Let X be a K尺寸 随机向量,并通过 X_1, ...,  $ X_ {K} $ . 的期望值 X, denoted by [eq77], 只是期望值的向量 K components of X. 例如,假设 X is a row vector; then[eq78]

随机矩阵的期望值

Let  西格玛 be a $ Kimes L $ 随机矩阵,即 $ Kimes L $ 条目为随机变量的矩阵。表示其 $ left(i,j
权)$ -th entry by $ Sigma _ {ij} $. 的期望值  西格玛 , denoted by [eq79], 只是条目的期望值的矩阵  西格玛 :[eq80]

可整合性

表示随机变量的绝对值 X by [eq81]. If [eq82] 存在并且是有限的,我们说 X is an 可积随机变量,或者只是那个 X is integrable.

Lp空间

Let $ 1leq p<infty $. 所有随机变量的空间 X such that [eq83] 存在并且是有限的,用  $ L ^ {p} $ or [eq84], where the triple [eq85] 依赖底层 probability space explicit.

If X belongs to  $ L ^ {p} $ , we write [eq86].

Hence, if X 是可积的,我们写 [eq87].

相关讲座

以下讲座包含有关预期值的更多材料。

有条件的期望

介绍期望值运算符的条件版本

期望值的性质

期望值算子主要属性的陈述,证明和示例

期望值和勒贝格积分

根据Lebesgue积分对期望值进行严格定义

解决的练习

有关期望值的一些已解决的练习可以在下面找到。

练习1

Let X 是离散的随机变量。让它支持  R_X be[eq88]

让其概率质量函数 [eq89] be[eq90]

计算的期望值 X.

以来 X 是离散的,其期望值是在 X:[eq91]

练习2

Let X 是一个离散变量 support[eq92]

and probability mass function[eq93]

计算其期望值。

以来 X 是离散的,其期望值是在 X:[eq94]

练习3

Let X 是离散变量。让它支持 be[eq95]

让其概率质量函数 be[eq96]

计算的期望值 X.

以来 X 是离散的,其期望值是在 X:[eq97]

练习4

Let X 是一个连续的随机变量 uniform distribution on the interval $ left [1,3
权] $.

Its support is[eq98]

其概率密度函数 is[eq99]

计算的期望值 X.

以来 X 是连续的,其期望值可以计算为 integral: [eq100]

请注意,技巧是:1)细分积分间隔以隔离 密度为零的子间隔; 2)拆分积分 各种子间隔。

练习5

Let X 是连续随机变量。它的支持 is [eq101]

其概率密度函数 is [eq102]

计算的期望值 X.

以来 X 是连续的,其期望值可以计算为 integral: [eq103]

练习6

Let X 是连续随机变量。它的支持 is [eq104]

其概率密度函数 is [eq105]

计算的期望值 X.

以来 X 是连续的,其期望值可以计算为 integral: [eq106]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "期望值", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/expected-value.

这本书

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