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协方差

经过 ,博士学位

协方差是两个随机变量之间关联的衡量标准。

目录

定义

让我们从协方差定义开始。

定义 两者之间的协方差 random variables X and Y, denoted by [eq1], is defined as[eq2]假如 the above expected values exist and are well-defined.

了解定义

为了更好地了解协方差的定义,让我们 分析它是如何构建的。

协方差是 [eq3], where $ overline {x} $ and $ overline {y} $ are defined as follows:[eq4]$ overline {x} $ and $ overline {y} $ 是偏差 X and Y 从他们各自的手段。

When [eq3] 是积极的,这意味着:

相反,何时 [eq3] 是消极的,这意味着:

In other words, when [eq3] is positive, X and Y are 一致 (它们与平均值的偏差相同 sign); when [eq3] is negative, X and Y are 不和谐 (它们与平均值的偏差相反 signs).

Thus, the product [eq3] 可以解释为相似性的衡量标准 $ overline {x} $ and $ overline {y} $ (actually, the 产品是相似性的衡量标准)。因此,协方差 [eq10]讲 我们如何相似的两个变量的偏差(来自各自的偏差 手段)平均。直观地,我们可以表达概念 follows:[eq11]

When [eq12], X and Y 不要显示任何上述两个倾向。

同等的定义

两个随机之间的协方差 变量也可以由 formula[eq13]哪个 相当于上面定义中的公式。

证明

这两个定义的等价是 proved as follows:[eq14]

从这个配方中可以很容易地看到协方差 X and Y 存在,并且只有很好地定义只要预期的值 [eq15], [eq16] and [eq17] 存在并明确定义。

该公式具有很大的实际相关性,并且通常使用它 这些讲座。它通常被称为 协方差 formula.

例子

以下示例显示了如何计算两个之间的协方差 discrete random variables.

例子 Let X be a $ 2倍1美元 随机向量并表示其组件 X_1 and X_2. Let the support of X be [eq18]和 its joint probability mass function be[eq19]这 support of X_1 is[eq20]和 its marginal 概率质量功能 is[eq21]这 expected value of X_1 is[eq22]这 support of X_2 is[eq23]和 其边际概率质量功能 is[eq24]这 expected value of X_2 is[eq25]使用 the transformation theorem,我们可以计算预期的值 $ x_ {1} x_ {2} $:[eq26]因此, 之间的协方差 X_1 and X_2 is[eq27]

更多示例,包括如何计算两个之间的协方差的示例 连续随机变量,可以在解决的练习中找到 bottom of this page.

更多细节

以下小节包含有关协方差的更多详细信息。

随机变量与自身的协方差

Let X 是一个随机变量, then[eq28]

证明

它从定义下降 variance:[eq29]

对称

协方差运营商是 symmetric:[eq30]

证明

经过 协方差的定义,我们 have[eq31]

两个随机变量总和的方差

Let X_1 and X_2 是两个随机变量。然后是他们的总和的方差 [eq32]

证明

上述公式衍生成 follows:[eq33]

因此,计算我们需要的两个随机变量的总和的方差 了解他们的协方差。

Obviously then, the formula[eq34]拥有 only when X_1 and X_2 有零协方差。

用于两个随机变量之和的方差的公式可以是 概括为两个以上的随机变量(见 n随机变量总和的方差)。

协方差运营商的双人性

协方差运算符在其两个参数中是线性的。让 X_1, X_2 and Y 是三个随机变量并让 a_1 and a_2 是两个常数。然后,第一个参数是 linear:[eq35]

证明

这 通过使用预期的线性证明 value:[eq36]

By symmetry,第二个论点也是 linear:[eq37]

称为第一个和第二个参数的线性,称为 双丝状度.

通过迭代地应用上述论点,人们可以证明这是双子性的 还有两个以上的线性组合 variables:[eq38]

n随机变量总和的方差

总和的方差 n random variables is[eq39]

证明

这是使用双式性证明的 协方差运营商(见 above):[eq40]

该公式意味着,当总和中的所有随机变量有零时 相互协方差,那么总和的方差只是总和 the variances:[eq41]这 例如,当总和中的随机变量相互时,是真的 independent (because independence implies zero covariance)。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X be a $ 2倍1美元 离散随机向量 and 表示其组件 X_1 and X_2. Let the support of X be [eq42]和 其联合概率质量功能 be[eq43]

计算之间的协方差 X_1 and X_2.

解决方案

支持 X_1 is[eq44]和 its marginal 概率质量功能 is[eq45]这 expected value of X_1 is[eq46]这 support of X_2 is[eq47]和 其边际概率质量功能 is[eq48]这 expected value of X_2 is[eq49]经过 使用转换定理,我们可以计算预期的值 $ x_ {1} x_ {2} $:[eq50]因此, 之间的协方差 X_1 and X_2 is[eq51]

练习2

Let X be a $ 2倍1美元 离散随机向量,并表示其条目 X_1 and X_2. Let the support of X be[eq52]和 其联合概率质量功能 be[eq53]

计算之间的协方差 X_1 and X_2.

解决方案

支持 X_1 is[eq54]和 其边际概率质量功能 is[eq55]这 mean of X_1 is[eq56]这 support of X_2 is[eq57]和 其概率质量功能 is[eq58]这 mean of X_2 is[eq59]这 产品的预期价值 $ x_ {1} x_ {2} $ can 通过使用转换来源 theorem:[eq60]所以, 通过将碎片放在一起,我们获得了协方差 X_1 and X_2 is[eq61]

练习3.

Let X and Y 是两个随机变量 that[eq62]

计算以下内容 covariance:[eq63]

解决方案

通过协方差的双人性 operator, we have[eq64]

练习4.

Let [eq65] be a continuous random vector with support: [eq66]在 other words, $ r_ {xy} $ 是所有夫妻的集合 $ left(x,y
Ight)$ such that [eq67] and [eq68]. 让联合概率密度函数 [eq65] be[eq70]计算 之间的协方差 X and Y.

解决方案

支持 X is[eq71]因此, when [eq72], the marginal 概率密度函数 of X is 0, while, when [eq73], 边缘概率密度函数 X is[eq74]所以, 边缘概率密度函数 X is[eq75]这 expected value of X is[eq76]这 support of Y is[eq77]什么时候 [eq78], 边缘概率密度函数 Y is 0, while, when [eq79], 边缘概率密度函数 Y is[eq80]所以, 边缘概率密度函数 Y is[eq81]这 expected value of Y is:[eq82]这 产品的预期价值 $ xy $ 可以通过转换来计算 theorem:[eq83]因此, 通过协方差公式,之间的协方差 X and Y is[eq84]

练习5.

Let [eq65] 是一个与支持的连续随机矢量 [eq86]和 其联合概率密度函数 be[eq87]计算 之间的协方差 X and Y.

解决方案

支持 Y is[eq88]什么时候 [eq89], 边缘概率密度函数 Y is 0, while, when [eq90], 边缘概率密度函数 Y is[eq91]经过 把碎片放在一起,我们有边缘概率密度 function of Y is[eq92]这 expected value of Y is[eq93]这 support of X is[eq94]什么时候 [eq95], 边缘概率密度函数 X is 0, while, when [eq96], 边缘概率密度函数 X is:[eq97]我们 不要明确计算积分,但我们写边缘概率 density function of X as follows:[eq98]这 expected value of X is[eq99]这 产品的预期价值 $ xy $ 可以通过转换来计算 theorem:[EQ100]因此, 协调性公式 gives[EQ101]

练习6.

Let X and Y 是两个随机变量 that[EQ102]

计算以下内容 covariance:[EQ103]

解决方案

通过协方差的双人性 operator, we have that[EQ104]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "协方差", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/covariance.

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