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詹森的不等式

经过 ,博士学位

Jensens的不平等涉及凸和凹陷的预期价值 随机变量的转换。

目录

陈述

以下是对不平等的正式声明。

主张 Let X be an integrable random variable。让 [eq1] 是一个凸起的功能 that[eq2]是 也是可叠加的。然后,以下不等式,称为Jensen的不等式, holds:[eq3]

证明

一个功能 $ g $ 对于任何点,是凸的 $ x_ {0} $ the graph of $ g $ 在这一点上完全在其切线之上 $ x_ {0} $:[eq4]在哪里 $ b $ 是切线的斜率。环境 $ x = x $ and [eq5], the inequality becomes[eq6]服用 不平等双方的预期价值和使用这一事实 预期的价值运营商保留 inequalities, 我们 obtain[eq7]

If the function $ g $ 严格凸起和 X is not almost surely constant, then we have a strict inequality:[eq8]

证明

一个功能 $ g $ 如果有任何一点,严格凸 $ x_ {0} $ the graph of $ g $ 在这一点上完全在其切线之上 $ x_ {0} $ (并且严格地为不同的点 $ x_ {0} $):[eq9]在哪里 $ b $ 是切线的斜率。环境 $ x = x $ and [eq5], the inequality becomes[eq11]和, of course, [eq12] when [eq13]. 以不平等的预期价值和使用这一事实 预期的价值运营商保留了不平等,我们 obtain[eq14]在哪里 第一个不平等是严格的,因为我们已经假设了 X 并不是肯定的,因此 event[eq15]做 not have probability 1.

If the function $ g $ is concave, then[eq16]

证明

如果 $ g $ is concave, then $ -g $ 是凸的和jensen的 inequality:[eq17]乘以 both sides by $-1,$ and 使用我们获得结果的预期值的线性度。

If the function $ g $ 严格凹陷和 X 不是几乎不变, then[eq18]

证明

类似于以前的证据。

例子

假设严格的随机变量 X has expected value[eq19]和 它不是概率的不恒定。我们可以对预期的看法 value of [eq20], 通过使用Jensen的不等式?

自然对数是严格凹入的函数,因为它是第二个 derivative[eq21] 在其定义领域是严格负面的。

因此,詹森的不平等,我们 have[eq22]

Therefore, [eq20] 有严格的预期价值。

练习1

Let X 是一个严格的正随机变量,如 that[eq24]什么 您可以推断使用Jensen的不等式,关于以下预期 value:[eq25]

解决方案

这 function[eq26]已 first derivative[eq27]和 second derivative[eq28]这 第二个衍生品是严格负面的关于的定义领域 功能。因此,该功能严格凹陷。此外, X 并不是肯定的,因为它具有严格的积极方差。 Hence, by Jensen's inequality:[eq29]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "詹森的不等式", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/fundamentals-of-probability/Jensen-inequality.

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