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均衡均方收敛

经过 ,博士学位

讲座讨论了卑鄙的融合。我们首先与卑鄙的广场交易 随机变量的序列收敛,然后用均线 随机载体序列的收敛性。

目录

一系列随机变量的平均方形融合

在讲座中题为 随机变量的序列 及其融合 我们强调了不同概念的事实 收敛基于测量两个之间距离的不同方式 随机变量(如何“彼此靠近”两个随机变量)。这 卑鄙的融合的概念,或平均方形的融合,是基于 以下直觉:两个随机变量是“彼此接近” 它们的区别平均平均小。

Let [eq1] be a 在a上定义的随机变量序列 sample space 欧米茄. Let X 是一个随机变量。序列 [eq2] 据说汇合到了 X in mean-square if [eq1] converges to X 根据指标 [eq4] defined as follows:[eq5](如果 您不明白它意味着什么“根据指标收敛”转到 the lecture entitled Limit of a sequence)。

Note that [eq6] 只有在右侧存在的预期值存在, 通常通过要求提供这一点 X_N. and X be square integrable.

直观地,固定 sample point 欧米茄, 平方差异 [eq7] 在两个实现之间 X_N. and X 提供了衡量两种实现的不同程度。均值 squared difference [eq8] 提供了衡量两种实现平均水平的不同(如 欧米茄 变化)。如果这个均方的平方差异变得越来越小 increasing n, then the sequence [eq1] converges to X.

我们总结了以下卑鄙融合的概念 definition.

定义 [eq1] 是样本空间上定义的一系列方形可集成随机变量 欧米茄. We say that [eq11] is 卑鄙广场收敛 (或者 convergent in mean-square)如果且仅在存在方形可集中随机 variable X such that [eq1] converges to X, 根据指标 [eq13], that is,[eq14]X is called the 均值 of the sequence and 指示收敛 by[eq15]或者 by[eq16]

请注意,在上面的定义中, [eq17] is just the usual criterion for convergence, 尽管 [eq18] 表示融合在于 Lp space $ l ^ {2} $, because both [eq1] and X 已被要求是正方形的。

以下示例说明了均方收敛的概念。

例子 Let [eq1] be a 协方差静止 随机变量的序列,使得所有随机变量中的所有随机变量 序列具有相同的 expected value 亩, the same variance 西格玛^ 2. and zero covariance 彼此。定义 sample mean xbar_n. as follows:[eq21]和 定义恒定随机变量 $ x = mu $. 序列的通用术语之间的距离 [eq22] and X is[eq23]亩 等于预期的价值 xbar_n. because[eq24]所以,[eq25]经过 方差的定义。反过来,方差 xbar_n. is[eq26]因此,[eq27][eq28]但 这只是均线融合的定义 xbar_n. to X. 因此,序列 [eq29] 融合到常规随机变量的平均方形 $ x = mu $.

均衡的均方融合 随机载体的序列

上述收敛概念推广到随机载体的序列 直截了当的方式。

Let [eq1] be a 在a上定义的随机向量序列 sample space 欧米茄, 每个随机矢量 X_N. has dimension Kx1. 随机载体的序列 [eq1] 据说汇聚到随机向量 X in mean-square if [eq1] converges to X 根据指标 [eq4] defined as follows:[eq34]在哪里 [eq35] 是欧几里德之间的差异 X_N. and X 和第二个下标用于表示各个组件 vectors X_N. and X.

Of course, [eq6] 仅当存在右侧存在的预期值时,才定义得很好。一种 足够的条件 [eq37] 明确定义的是所有组件 X_N. and X 是方形可集成的随机变量。

直观地,对于固定的样本点 欧米茄, 欧几里德规范的平方 [eq38] 两种实现之间的差异 X_N. and X 提供了衡量两种实现的不同程度。意思 欧几里德规范的平方 [eq39] 提供了衡量两种实现平均水平的不同(如 欧米茄 varies). If [eq40] 通过增加变得越来越小 n, 然后是随机载体的顺序 [eq1] 收敛到矢量 X.

以下是随机均方融合的正式定义 vectors.

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄, 其组件是方形可集成的随机变量。我们这么说 [eq1] is 卑鄙广场收敛 (或者收敛 mean-square)如果并且仅在存在随机向量时 X 具有方形可线性组件,使其如此 [eq1] converges to X, 根据指标 [eq45], that is,[eq46]X is called the 均值 of the sequence and 指示收敛 by[eq15]或者 by[eq16]

请注意,在上面的定义中, [eq49] 只是融合的通常标准,而 [eq18] 表示收敛在LP空间中 $ l ^ {2} $, because both [eq51] and X 已被要求具有方形可集成的组件。

Now, denote by [eq52] the sequence of the i - 载体的组件 X_N.. 可以证明随机载体的顺序 [eq1] 如果均且仅当所有 K 随机变量的序列 [eq54] 在卑鄙广场中收敛。

主张 Let [eq1] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄, 它们的组件是方形可集成的随机变量。表示 [eq56] 通过采取的随机变量序列 i - 每个随机载体的组成部分 X_N.. The sequence [eq1] 融合在随机向量中 X if and only if [eq58] 在随机变量中融合均方 $ x_ {ullet,i} $ (the i - component of X) for each $ i = 1,LDOTS,K $.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let $ U $ 是一个随机变量 uniform distribution on the interval $左[1,2
Ight] $. In other words, $ U $ is a continuous random variable with support[eq59]和 probability density function[eq60]考虑 一系列随机变量 [eq1] whose generic term is[eq62]在哪里 [eq63] is the indicator function of the event [eq64].

找到序列的平均方限制(如果存在) [eq65].

解决方案

什么时候 n 倾向于无限,间隔 [eq66] 变得类似于间隔 $左[1,2
Ight] $ because[eq67]所以, 我们猜想指标 [eq68] 融合到指示器的均线 [eq69]. But [eq70] is always equal to 1, 所以我们的猜想是序列 [eq71] 融合到均线 1. 要验证我们的猜想,我们需要验证 that[eq72]

可以计算预期值 follows.[eq73]因此, the sequence [eq1] 融合到卑鄙的方形 1 because[eq75]

练习2

Let [eq1] be a sequence of discrete random variables。让通用术语的概率质量函数 the sequence X_N. be[eq77]

找到序列的平均方限制(如果存在) [eq65].

解决方案

笔记 that[eq79]所以, 人们会期待序列 [eq1] 收敛到常数随机变量 $X=0$. 但是,序列 [eq81] 不融合到卑鄙的方形 0. 序列的通用术语的距离 0 is[eq82]因此,[eq83]尽管, if [eq1] 我们会收敛,我们会 have[eq85]

练习3.

在上一个练习中的序列是否在 converge in probability?

解决方案

序列 [eq1] 收敛于恒定随机变量的概率 $X=0$ because, for any $ arepsilon.>0$, we have that[eq87]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "均衡均方收敛", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/asymptotic-theory/mean-square-convergence.

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