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几乎肯定的融合

经过 ,博士学位

讲座介绍了几乎肯定的融合的概念。为了 了解这次讲座,你应该首先了解几乎的概念 当然财产和几乎肯定的事件,在题为题为讲座中解释 零快三一定牛事件,以及概念 一系列随机变量的点亮会聚,解释说明 lecture entitled 点融合.

目录

几乎确定随机变量序列的融合

Let [eq1] be a 在a上定义的随机变量序列 sample space 欧米茄. The concept of 几乎肯定的融合 (或者 作为。 convergence)是尖锐的概念的略有变化 收敛。正如我们所看到的那样,一系列随机变量 [eq1] 如果才能偶然会收敛,仅当实数的序列时 [eq3] 是所有人的融合 欧米茄在欧米茄. 实现所有人的融合 欧米茄在欧米茄 是一个非常严格的要求。因此,这一要求通常是 削弱,需要收敛 [eq4] 足够大的子集 欧米茄, 而不是所有人 欧米茄在欧米茄. In particular, [eq5] 通常需要是收敛序列 almost surely: 如果 F 是所有样本点的集合 欧米茄 序列 [eq6] 是收敛的,它的补充 $ f ^ {c} $ 必须包含在零快三一定牛中 event:[eq7]在 其他单词,几乎肯定会汇总要求序列 [eq3] 收敛于所有样本点 欧米茄在欧米茄, 除了一个非常小的套装 $ f ^ {c} $ of sample points ($ f ^ {c} $ 必须包含在零快三一定牛事件中)。这总结了 以下定义。

定义 [eq1] 是在示例空间上定义的一系列随机变量 欧米茄. We say that [eq1] is 几乎肯定会融入 (作为。 convergent)到随机变量 X defined on 欧米茄 如果且仅当实数的序列 [eq11] converges to [eq12] 几乎肯定,即,如果且才有零快三一定牛事件 E such that[eq13]X is called the 几乎肯定的限制 的 the sequence and 指示收敛 by[eq14]

以下是几乎肯定地收敛的序列的示例。

例子 Suppose the sample space 欧米茄 is[eq15]它 可以构建快三一定牛测量 $ qtr {rm} {p} $ on 欧米茄, such that $ qtr {rm} {p} $ assigns 到每个子间隔 $left[ 0,1
ight] $ 快三一定牛等于其 length:[eq16](看 the lecture entitled Zero-probability events)。请记住,在这个快三一定牛模型中所有 sample points 欧米茄在欧米茄 被分配为零快三一定牛(每个样本点,当考虑为事件时, 是零快三一定牛 event):[eq17]现在, 考虑一系列随机变量 [eq1] defined as follows:[eq19]什么时候 [eq20], 实数的序列 [eq3] converges to 0 because[eq22]然而, when $ omega = 0 $, 实数的序列 [eq23] is not convergent to 0 because[eq24]定义 恒定随机变量 X as follows: [eq25]我们 have that[eq26][eq27] because [eq28]哪个 means that the event[eq29]是 零快三一定牛事件。因此,序列 [eq1] converges to X 几乎肯定。但是,请注意 [eq1] 不派往 X because [eq32] does not converge to [eq33] for all 欧米茄在欧米茄.

几乎 一系列随机向量的融合

上述收敛概念推广到随机载体的序列 直截了当的方式。

Let [eq1] be a 在a上定义的随机向量序列 sample space 欧米茄, 每个随机矢量 X_N. has dimension Kx1. 同样在随机向量的情况下,几乎肯定的融合的概念是 通过放松假设,从尖升趋同的概念获得 that the sequence [eq35] converges for all 欧米茄在欧米茄. 请记住,真正的矢量序列 [eq36] 收敛到真正的矢量 [eq33] if and only if [eq38] 相反,需要序列 [eq39] 融合几乎所有 欧米茄 (即,几乎肯定地)。

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄. We say that [eq1] is 几乎肯定会融入 to a random vector X defined on 欧米茄 如果且仅在真实向量序列 [eq39] 收敛到真实的矢量 [eq33] 几乎肯定,即,如果且才有零快三一定牛事件 E such that[eq13]X is called the 几乎肯定的限制 的 the sequence and 指示收敛 by[eq14]

Now, denote by [eq46] the sequence of the i - 载体的组件 X_N.. 可以证明随机载体的顺序 [eq1] 如果才能才能融合,如果所有 K 随机变量的序列 [eq46] 几乎肯定会收敛。

主张 Let [eq1] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄. Denote by [eq46] 通过采取的随机变量序列 i - 每个随机载体的组成部分 X_N.. The sequence [eq1] 几乎肯定会收敛到随机向量 X if and only if [eq46] 几乎肯定地收敛到随机变量 $ x_ {ullet,i} $ (the i - component of X) for each $ i = 1,LDOTS,K $.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let the sample space be[eq53]IE。 示例空间是0到1之间的所有实数的集合。子间隔 of $left[ 0,1
ight] $ 被分配了等于他们的快三一定牛 length:[eq54]

定义一系列随机变量 [eq1] as follows:[eq56]

定义一个随机变量 X as follows:[eq57]

Does the sequence [eq1] 几乎肯定会融合到 X?

解决方案

对于固定的样本点 [eq59], 实数的序列 [eq60] has limit[eq61]

For $ omega = 1 $, 实数的序列 [eq39] has limit[eq63]

因此,随机变量的序列 [eq1] 不派往 X because[eq65]为了 $ omega = 1 $. 但是,样本点集 欧米茄 such that [eq66] does not converge to [eq12] 是零快三一定牛事件: [eq68]所以, the sequence [eq1] 几乎肯定会收敛 X.

练习2

Let [eq1] and [eq71] 是在示例空间上定义的两个随机变量的序列 欧米茄. Let X and Y 是两个随机变量定义 欧米茄 such that[eq72]

Prove that[eq73]

解决方案

表示 $ f_ {x} $ 这组样本要点 [eq74] converges to [eq33]:[eq76]这 fact that [eq1] 几乎肯定会收敛 X implies that[eq78]在哪里 [eq79].

Denote by $ f_ {y} $ 这组样本要点 [eq80] converges to [eq81]:[eq82]这 fact that [eq71] 几乎肯定会收敛 Y implies that[eq84]在哪里 [eq85].

Now, denote by $ f_ {xy} $ 这组样本要点 [eq86] converges to [eq87]:[eq88]

Observe that if [eq89] then [eq90] converges to [eq91], 因为两个的总和 sequences 的 real numbers is 如果两个序列是收敛的,则会收敛。 Therefore,[eq92]服用 双方的补充,我们 obtain[eq93][eq94]和 as a consequence [eq95]. Thus, the set $ f_ {xy} ^ {c} $ of sample points 欧米茄 such that [eq90] does not converge to [eq97] 包含在零快三一定牛事件中 $ e_ {x} cup e_ {y} $, which means that[eq73]

练习3.

Let the sample space be[eq99]那 是,样本空间是0到1之间的所有实数的集合。 Sub-intervals of $left[ 0,1
ight] $ 被分配了等于他们的快三一定牛 length:[eq54]

定义一系列随机变量 [eq1] as follows:[EQ102]

查找序列的几乎确定的限制。

解决方案

如果 $ omega = 0 $ or $ omega = 1 $, 然后是实数的序列 [eq3] is not convergent:[EQ104]

For [EQ105], 实数的序列 [eq3] has limit[EQ107]因为 for any 欧米茄 we can find $ n_ {0} $ such that [EQ108] for any $ ngeq n_ {0} $ (as a consequence [EQ109] for any $ ngeq n_ {0} $)。

因此,随机变量的序列 [eq1] 几乎肯定地收敛到随机变量 X defined as[EQ111]因为 样本点集 欧米茄 such that [EQ112] does not converge to [eq33] 是零快三一定牛事件: [EQ114]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "几乎肯定的融合", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/asymptotic-theory/almost-sure-convergence.

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